تحليل المعادلات الخطية

حل المعادلات الخطية بطريقة الحذف:

أ ₁ س + ب ₁ ص = حـ ₁ معادلة (1).
أ ₂ س + ب ₂ ص = حـ ₂ معادلة (2).
فيمكن حل هاتين المعادلتين لإيجاد المجهولين س، ص بطريقة الحذف وذلك وفقاً للخطوات التالية:
بضرب المعادلة الأولى في (ب ₂) والمعادلة الثانية في (ب ₁) لاستبعاد أحد المجهولين وهو المجهول (ص).
أ ₁ ب ₂ س + ب ₁ ب ₂ ص = حـ ₁ ب ₂ معادلة (3).
أ ₂ ب ₁ س + ب ₁ ب ₂ ص = حـ ₂ ب ₁ معادلة (4).
وبطرح المعادلتين من بعضهما تصبح : أ ₁ ب ₂ س – أ ₂ ب ₁ س = حـ ₁ ب ₂ – حـ ₂ ب ₁
إذا س = (حـ ₁ ب ₂ – حـ ₂ ب ₁) / (أ ₁ ب ₂ – أ ₂ ب ₁)
وبضرب المعادلة(2) في أ ₁، والمعادلة (1) في أ ₂ بغرض حذف المجهول س نجد أن:
أ ₂ أ ₁ س + ب ₂ أ ₁ ص = حـ ₂ أ ₁
أ ₁ أ ₂ + ب ₁ أ ₂ ص = حـ ₁ أ ₂
وبالطرح: ب ₂ أ ₁ ص – ب ₁ أ ₂ ص = حـ ₂ أ ₁ – حـ ₁ أ ₂
إذاً ص = (حـ ₂ أ ₁ – حـ ₁ أ ₂) / (أ ₁ ب ₂ – أ ₂ ب ₁)
فإذا لم يكن ( أ ₁ ب ₂ – أ ₂ ب ₁) = صفر فإننا نكون قد حصلنا على قيمة المجهولين س، ص بطريقة الحذف.
مثال: حل المعادلتين الخطتين التالتين (بطريقة الحذف):
3 س + 5 ص = 19 معادلة (1).
6 س – 7 ص = 4 معادلة (2).
وبضرب المعادلة رقم (1) في العدد “2” فينتج المعادلتين:
6 س +10 ص = 38 (3)
6 س – 7 ص = 4 (4)
وبطرح المعادلة (3) من المعادلة (4) ينتج:
17 ص = 34 (3)
إذاً ص = 24 / 17 = 2 (5)
وبالتعويض بقيمة ص = 2 من المعادلة (5) في إحدى المعادلتين (1) أو (2) ولتكن المعادلة (2):
6 س – 7 (2) = 4
6 س – 14 = 4
6 س = 18
ومنها س = 18 / 6 = 3
وبذلك تكون قيم س، ص التي تحقق المعادلتين هما (3، 2).

حل المعادلات الخطية بطريقة التعويض:

تختلف خطوات الحل للمعادلات الخطية بطريقة التعويض عنه في طريقة الحذف السابقة، فهنا نستنتج إحدى المجهولين المجهول الآخر في إحدى المعادلتين وباستخدام القيمة السابقة في المعادلة الثانية فيكون الناتج معادلة واحدة في مجهول واحد، والذي يمكن الوصول إلى قيمته باستخدام القانون (س = (- ب) / (أ) )، ومن ثم بالتعويض بالقيمة السابقة في إحدى المعادلتين الأصليين يتم الحصول على قيمة المجهول الآخر وفقاً لما يلي:
مثال: حل المعادلتين الخطيتين (بطرقية التعويض):
س – 3 ص = -2 معادلة (1).
2 س + ص = 7 معادلة (2).
ومن المعادلة (2) يتم استنتاج أن:
ص = 7 – 2 س المعادلة (3).
بالتعويض بقيمة س من المعادلة (3) في المعادلة (1) نجد:
س – 3 (7 – 2 س) = – 2
س – 21 + 6 س = – 2
7 س = 19
ومنها س = 19 / 7 معادلة (4).
وبالتعويض بقيمة ص من المعادلة (4) في المعادلة (2) نجد:
2 ( (19 / 7) ) + ص = 7
(38 / 7) + ص = 7
ومنها ص = 7 – (38 / 7)
= (49 – 38) / 7 = 11 / 7 (5)
ومن المعادلتين (4 ، 5) فإن قيمة المجوهلين (19 / 7 ، 11 / 7 ) على الترتيب.