معادلات فرينل - Fresnel Equations

ما هي معادلات فرينل؟

تُعرّف معادلات فرينل (Fresnel Equations)، المعروفة أيضًا باسم “معاملات فرينل” بأنّها نسبة المجال الكهربائي لموجة منعكسة ومرسلة إلى المجال الكهربائي للموجة الواردة، هذه النسبة معقدة، وبالتالي فهي تصف السعة النسبية وكذلك تحولات الطور بين الموجات، تصف معادلات فرينل “معاملات فرينل”، انعكاس الضوء ونقله عندما يقع على واجهة بين وسطين مختلفين، تمّ تقديم “معادلات فرينل” بواسطةالعالم “أوغستين جان فريسنل”، كان أول من فهم أنّ الضوء عبارة عن موجة عرضية.

عندما يسقط الضوء على سطح عازل، فإنّه سينعكس وينكسر كدالة لزاوية السقوط، يتم تحديد اتجاه الموجة المنعكسة بواسطة “قانون الانعكاس“، يظهر “تأثير فرينل” في الحياة العادية، يمكن رؤيتها أيضًا في الأسطح اللامعة والخشنة، هذا التأثير واضح جدًا على سطح الماء، عندما يسقط ضوء على الماء من وسط الهواء، سوف ينعكس الضوء وفقًا لزاوية السقوط، تأثير فرينل موجود في كل مكان، إذا حاولت أن تنظر حولك، ستجد العديد من الأمثلة، هذا التأثير يعتمد بشكل كبير على زاوية السقوط.

“زاوية السقوط هي الزاوية بين خط الرؤية وسطح الجسم الذي تبحث عنه”. 

الاستقطاب – S and P Polarizations:

يُعرف المستوى الذي يحتوي على السطح الطبيعي وناقل انتشار الإشعاع الوارد بمستوى الوقوع أو مستوى الوقوع، يلعب مستوى السقوط دورًا مهمًا في قوة انعكاس استقطاب الضوء الساقط، يُعرَّف الاستقطاب على أنّه خاصية للموجة المستعرضة التي تحدد الاتجاه الهندسي للتذبذب، هناك نوعان من الاستقطاب:

• الاستقطاب (S-Polarization).

• الاستقطاب (P-Polarization).

عندما يكون استقطاب الضوء عموديًا على مستوى السطح الساقط عليه، يُعرف الاستقطاب باسم (S-polarization)، يأتي الحرف (S) من الكلمة الألمانية (senkrecht) والتي تعني عمودي، يُعرف الاستقطاب (S) أيضًا باسم (Transverse Electric)، ويرمز لها بالرمز (TE)، إذًا، الضوء الساقط ينعكس وينتقل في استقطاب (S) و استقطاب (P).

الانكسار المركب لمعادلات فرينل:

معادلات فرينل هي معادلة معقدة وهذا يعني أنّها تأخذ في الاعتبار المقدار والطور، تمثل معادلات فرينل من حيث السعة المعقدة للمجال الكهرومغناطيسي التي تأخذ بعين الاعتبار الطور إلى جانب القدرة، هذه المعادلات هي نسب المجال الكهرومغناطيسي وهي تصنع في أشكال مختلفة، يتم تمثيل معاملات السعة المعقدة بواسطة (r و t).

معامل الانعكاس (r)، هو نسبة سعة المجال الكهربائي المعقدة للموجة المنعكسة إلى الموجة الساقطة، ومعامل الانعكاس (t) هو نسبة سعة المجال الكهربائي المعقدة للموجة المرسلة إلى الموجة الساقطة، افترض أنّ زاوية الوقوع هي (i)، وتنعكس بزاوية (θr)، وتنتقل بزاوية (θt)، (Ni) هي مؤشرات الانكسار لوسط الضوء الساقط و Nt هي مؤشرات الانكسار لوسط الضوء المرسل، ومن ثمّ، هناك أربع معادلات لفرينل؛ معادلتان لمعامل الانعكاس (r)، وهما (rp و rs)، ومعادلتان لمعامل الانعكاس (t)، وهما (tp و ts).

اشتقاق معادلات فرينل:

لنفترض أنّ ضوء ينعكس على السطح الذي يسقط عليه، في الحالة الأولى، سنشتق معادلة فرينل للاستقطاب (S)، بالنسبة إلى الاستقطاب (S-Polarization)، يكون المكون الموازي (E) والمكون العمودي (B) مستمرين في العبور عبر الحدود بين الوسطين، ومن ثمّ من شرط الحدود، يمكننا كتابة معادلات للمجال (E-field)، والمجال (B-field)، كالتالي:

E_i + E_r = E_t

B_i cos(θ_i) – B_r cos(θ_r) = B_t cos(θ_t)

نستخدم العلاقة أدناه بين (B) و(E) للقضاء على (B):

B = nE/c₀

ومن قانون الانعكاس (law of reflection) نحصل على:

θ_i = θ_r

ضع هذه القيمة في المعادلة الثانية:

(n_iE_i/c₀) cos(θ_i) – (n_iE_r/c₀) cos(θ_i) = (n_tE_t/c₀) cos(θ_t)

n_i cos(θ_i) [E_i – E_r] = n_t E_t cos(θ_t)

ثمّ نحصل على:

وبعد حل المعادلة من الاشتقاقات، سوف نحصل على:

الآن، بالنسبة لمعامل الانعكاس (t)، من المعادلة (eq-1) و(eq-4)، سوف نحصل على:

هذه هي معادلات فرينل للضوء المستقطب عموديًا “استقطاب (S)”، الآن، دعنا نشتق معادلات للضوء المستقطب المتوازي (P-Polarization)، بالنسبة إلى الاستقطاب (S)، تكون معادلات المجال (E-field) والمجال (B-field)؛ كالتالي:

نستخدم العلاقة أدناه بين (B) و(E) للقضاء على (B)، وبعد الاشتقاقات المتتالية، سوف نحصل على:

الآن، بالنسبة لمعامل الانعكاس (t)، نحصل على:

E_i – (n_t/n_i) E_t = E_r

وبالتالي نحصل على:

دعونا نلخص جميع معادلات فرينل الأربعة:

r_s = [n_i cos(θ_i) – n_t cos(θ_t)]/[n_t cos(θ_t) + n_i cos(θ_i)]

t_s = [2n_i cos(θ_i)]/[n_i cos(θ_i) + n_t cos(θ_t)]

r_p = [n_i cos(θ_t) – n_t cos(θ_i)]/[n_t cos(θ_i) + n_i cos(θ_t)]

t_p = [2n_i cos(θ_i)]/[n_t cos(θ_i) + n_i cos(θ_t)]