نظرية تيليجن - Tellegen’s Theorem

ما هي نظرية تيليجن – Tellegen’s Theorem؟

تنص نظرية تيليجن (Tellegen) على أنّ مجموع الطاقة المسلمة يساوي صفرًا لكل فرع من فروع أي دائرة كهربائية في أي لحظة زمنية. إنّها قابلة للتطبيق بشكل أساسي لتصميم المرشحات في معالجة الإشارات كما أنّها تستخدم في أنظمة التشغيل المعقدة لتنظيم الاستقرار.

يستخدم في الغالب في النظام الكيميائي والبيولوجي ولإيجاد السلوك الديناميكي للشبكة المادية. نظرية تيليجن (Tellegen) مستقلة عن عناصر الشبكة. وبالتالي، فهي قابلة للتطبيق على أي نظام مقطوع يحتوي على عناصر خطية ونشطة وخاملة ومتغيرة الوقت. أيضًا، النظرية ملائمة للشبكة التي تتبع “قانون كيرشوف للتيار” و”قانون الجهد لكيرشوف“.

تمّ تقديم هذه النظرية في عام (1952م) من قبل المهندس الكهربائي الهولندي “برنارد دي إتش تيليجن”. هذه نظرية مفيدة للغاية في تحليل الشبكة. وفقًا لنظرية تيليجن (Tellegen)، فإنّ مجموع القوى اللحظية لعدد (n) من الفروع في شبكة كهربائية هو صفر. لنفترض أنّ عدد الفروع في الشبكة الكهربائية بها: (i1 ، i2 ، i3 ، ………………. in) هذه التيارات تلبي “قانون كيرشوف للتيار”.

شرح نظرية تيليجن:

يمكن أيضًا ذكر نظرية تيليجن (Tellegen) في تعبير آخر، حيث أنّه في أي شبكة خطية، أو غير خطية، أو سلبية “خاملة”، أو نشطة، أو متغيرة زمنيًا أو ثابتة زمنياً، يكون مجموع الطاقة “قدرة المصادر اللحظية أو المعقدة” صفرًا، وبالتالي، بالنسبة لفرع (Kth)، تنص هذه النظرية على ما يلي:

Σ v_k . i_k = 0

حيث:

n – هو عدد الفروع.

v_k – هو الجهد في الفرع.

i_k– هو التيار المتدفق عبر الفرع.

لتكن:

i_pq = i_K ………… (1)

توضح المعادلة (1) الفرع (K_th) خلال التيار.

K = v_p – v_q

حيث (v_p) و(v_q) هما جهد العقدة ذات الصلة في العقدتين (p و q). نحن لدينا:

v_Ki_pq = (v_p – v_q)i_pq = v_Ki_K …………. (2)

v_Ki_K = (v_q – v_p)i_pq  …………. (3)

i_pq = – i_pq  

بتلخيص المعادلتين أعلاه (2) و (3)، نحصل على:

2v_Ki_K = (v_p – v_q)i_pq + (v_q – v_p)i_pq     or 

v_Ki_K = ½ [(v_p – v_q)i_pq + (v_q – v_p)i_pq]      

يمكن كتابة هذه المعادلات لكل فرع من فروع الشبكة. وبالتالي، فقد لوحظ أنّ مجموع الطاقة التي يتم توصيلها إلى شبكة مغلقة هو صفر. هذا يثبت نظرية (Tellegen) ويثبت أيضًا مبدأ الحفاظ على الطاقة في أي شبكة كهربائية. من الواضح أيضًا أنّ مجموع الطاقة التي يتم تسليمها إلى الشبكة بواسطة مصدر مستقل يساوي مجموع الطاقة التي تمتصها جميع العناصر السلبية “الخاملة” للشبكة.

خطوات حل الشبكات باستخدام نظرية تيليجن:

الخطوات التالية موضحة أدناه لحل أي شبكة كهربائية بواسطة نظرية (Tellegen):

• الخطوة (1): من أجل تبرير هذه النظرية في شبكة كهربائية، فإنّ الخطوة الأولى هي إيجاد قطرات جهد (voltage drops) الفرع.

• الخطوة (2): ابحث عن تيارات الفروع المقابلة باستخدام طرق التحليل التقليدية.

• الخطوة (3): يمكن بعد ذلك تبرير نظرية (Tellegen) من خلال جمع منتجات جميع الفولتية والتيارات الفرعية. على سبيل المثال، إذا كانت الشبكة بها بعض الفروع (b)، فحينئذٍ:

Σ v_b i_b = 0

الآن، إذا تمّ أخذ مجموعة الفولتية والتيارات، بما يتوافق مع لحظتين مختلفتين من الزمن، (t1 و t2)، فإنّ نظرية (Tellegen) قابلة للتطبيق أيضًا حيث نحصل على المعادلة كما هو موضح أدناه:

Σ v_b (t₁) i_b (t₂) = Σ v_b (t₂) i_b (t₁) = 0

تطبيقات نظرية تيليجن:

التطبيقات المختلفة لنظرية (Tellegen) هي كما يلي:

• يتم استخدامه في نظام معالجة الإشارات الرقمية لتصميم المرشحات.

• في مجال العملية البيولوجية والكيميائية.

• في طوبولوجيا وهيكل تحليل شبكة التفاعل.

• تستخدم النظرية في المصانع الكيماوية والصناعات النفطية لتحديد استقرار أي أنظمة معقدة.