العلومالرياضيات

الأسس النسبية وتبسيطها وحل المعادلة الأسية

تمت تحريره بواسطة: - اخر تحديث : ٠٨:٣٣:٥٠ ، ١٤ أكتوبر ٢٠٢١ - مشاهدات : ٦٤٧

اقرأ في هذا المقال

الأسس النسبية تختلف بشكل كبير عن الأسس العادية، حيث أن العدد النسبي هو العدد الذي يمكن التعبير عنه بوصفه نسبة بين عددين صحيحين (a,b) مكتوبة على صورة كسر \frac{a}{b} حيث beq 0 . لذلك يمكن أن يكون العدد النسبي كسراً فعلياً، أو غير فعلي، أو كسراً عشرياً، أو عدداً كسرياً، أو عشرياً لأن كلاً منها يمكن كتابته على صورة كسر \frac{a}{b} .

الأسس النسبية

يمكن تعريف الأسس النسبية على أنها هي الأسس التي يمكن كتابتها على شكل بسط ومقام، في حين أن الأسس العادية هي الأسس التي يمكن كتابتها برقم واحد فقط سواء موجب أو سالب أو صفر، ويجب الإشارة إلى أن الأسس النسبية يتم معاملتها بنفس معاملة الأسس العادية مع تطبيق كافة قوانين الأسس العادية عليها.

تذكير: لأي عدد حقيقي a ، إذا كان n عدداً صحيحاً موجباً، فإن a^{n}=a\times a\times a.......\times a ، ويسمى a الأساس و n الأس.

خصائص ضرب القوى وقسمتها

لكل عدد حقيقي a,b وعدد نسبي n,m فإن:

  •    عند ضرب أعداد متساوية الأساس نجمع الأسس a^{n}\times a^{m}=a^{n+m} ، مثال: 2^{3}\times 2^{2}=2^{3+2}.
  • عند قسمة أعداد متساوية الأساس نطرح الأسس \frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m};aeq 0 ، مثال: \frac{2^{5}}{2^{3}}=2^{5-3}.
  • عند رفع عدد لأكثر من قوة نضرب تلك القوى في بعضها \left (a^{n} ight )^{m}=a^{n\times m} ، مثال: \left (2^{2} ight )^{3}=2^{2\times 3}.
  • تتوزع القوى في عملية الضرب \left (a\times b ight )^{n}=a^{n}\times b^{n} ، مثال: \left (2\times 3 ight )^{3}=2^{3}\times 3^{3}.
  • تتوزع القوى في عملية القسمة \left (\frac{a}{b} ight )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}};beq 0 ، مثال: \left (\frac{2}{3} ight )^{3}=\frac{2^{3}}{3^{3}}.
  • القوى السالبة لعدد صحيح (تحول العدد الى مقام وتصبح القوة موجبة) a^{-n}=\frac{1}{a^{n}};aeq 0 ، مثال: 2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}.
  • القوى السالبة لعدد نسبي (يقلب الكسر وتصبح القوة موجبة) \frac{1}{a^{-n}}=a^{n} , \left (\frac{a}{b} ight )^{-n}=\left (\frac{b}{a} ight )^{n};a,beq 0 ، مثال: \frac{1}{2^{-3}}=2^{3} , \left ( \frac{2}{3} ight )^{-4}=\left ( \frac{3}{2} ight )^{4}.
  •   القوة الصفرية دائماً تساوي الواحد a^{0}=1;aeq 0 ، مثال:2^{0}=1.

تعريف: لأي عدد حقيقي a، إذا كان n,m عددين صحيحين موجبين \left ( n> 1 ight ) ، فإن a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[n]{a^{m}}=\left ( \sqrt[n]{a} ight )^{m} ، إلا إذا كانت a< 0 ، و n عدد زوجياً، فإن الجذر يكون غير معرف.

تنطبق خصائص ضرب القوى وقسمتها للأسس الصحيحة على الأسس النسبية أيضاً، ومن هذه الخصائص ما يعرف بقوانين الجذور:

  • إذا كان n عدد زوجي، و n\geq 2 فإن: \sqrt[n]{a^{n}}=\left | a ight | مثال: \sqrt{3^{2}}=\left | 3 ight |

وإذا كان n عدد فردي، و n\geq 3 فإن: \left (\sqrt[n]{a} ight )^{n}=\sqrt[n]{a^{n}}=a^{\frac{n}{n}}=a مثال: \left (\sqrt[3]{5} ight )^{3}=\sqrt[3]{5^{3}}=5^{\frac{3}{3}}=5

  • \left (\sqrt[n]{a} ight )^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}} حيث n,m أعداد طبيعية أكبر من الواحد، مثال: \sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{2^{4}}=2^{\frac{4}{3}}
  • إذا كان n عدد زوجي يشترط أن تكون a,b\geq 0 ، حيث \sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\times \ b} مثال: \sqrt12\times \sqrt3=\sqrt{12\times 3}=\sqrt{36}=6
  • \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}};beq 0 مثال: \sqrt{\frac{144}{16}}=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{16}}=\frac{12}{4}=3
  • \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\times m]{a} حيث n,m أعداد طبيعية أكبر من الواحد، وإذا كانت n,m عدد زوجي فيشترط أن تكون a\geq 0

تبسيط المقادير الأسية

تكون العبارة الأسية في أبسط صورة إذا:

  • ظهر الأساس مرة واحدة، وكانت الأسس جميعها موجبة.
  • لم تتضمن العبارة قوة القوى.
  • كانت الكسور والجذور جميعها في أبسط صورة.

مثال: نجد قيمة كل مما يأتي في أبسط صورة:

  • 4^{\frac{3}{2}}=\sqrt[2]{4^{3}}=\left (\sqrt{4} ight )^{3}=\left (\sqrt{2\times 2} ight )^{3}=\left (\sqrt{2^{2}} ight )^{3}=2^{3}=2\times 2\times 2=8
  • Y^{\frac{-5}{2}}\times Y^{\frac{3}{2}}=Y^{\frac{-5}{2}+\frac{3}{2}}=Y^{\frac{-2}{2}}=Y^{-1}=\frac{1}{Y}
  • \frac{Z^{\frac{7}{8}}}{Z^{\frac{1}{8}}}=Z^{ \frac{7}{8}-\frac{1}{8}}=Z^{\frac{6}{8}}=Z^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{Z^{3}}
  • if a> 0, \left (a\times b^{2} ight )^{\frac{3}{2}}=a^{\frac{3}{2}}\times b^{2\times \frac{3}{2}}=\sqrt{a^{3}}\times b^{3}

المعادلة الأسية

معادلة تتضمن قوى أسسها متغيرات، ويتطلب حلها كتابة طرفي المعادلة بصورة قوة للأساس نفسه، ثم المقارنة بين أسي الطرفين، ويمكن كتابتها على الصورة a^{x}=b ، حيث a,b\in R ، وفق القاعدة التي نصها: ” إذا تساوت قوتان لهما الأساس نفسه، فإن أسيهما متساويان ” أي أن: إذا كان a عدداً حقيقياً موجباً، aeq 1 وكان a^{x}=a^{y} فإن x=y .

حل المعادلة الأسية

مثال: 5^{3x+2}=25^{x-1} ، أولًا: الأساسان متساويان لأن 5^{2}=25 فتصبح المعادلة 5^{3x+2}=\left (5^{2} ight )^{x-1}\Rightarrow 5^{3x+2}=5^{2\left ( x-1 ight )} ، بمساواة الأسس ينتج 3x+2=2\left ( x-1 ight )\Rightarrow 3x+2=2x-2 ، وبحل المعادلة 3x-2x=-2-2\Rightarrow x=-4

وتوجد تطبيقات حياتية كثيرة لحل المعادلات الأسية.

مثال (من الحياة/بكتيريا): يتضاعف عدد الخلايا البكتيرية في عينة مخبرية 4مرات كل ساعة، إذا استعملت المعادلة Y=3\left ( 4^{x-1} ight ) لحساب عدد الخلايا البكتيرية y في العينة بعد مرور x ساعة من زمن تحضير العينة، فما الزمن اللازم ليصبح في العينة 192 خلية ؟

الحل: المعادلة المعطاة Y=3\left ( 4^{x-1} ight ) بتعويض قيمة Y=192 في المعادلة ينتج 192=3\left ( 4^{x-1} ight ) ، نقسم طرفي المعادلة على 3 ينتج 64=4^{x-1} ، نلاحظ أن 64=4^{3}، لذلك تصبح المعادلة 4^{3}=4^{x-1} ، أصبح الأساس متساوي لذلك نساوي الأسس 3=x-1 ونحل المعادلة الخطية الناتجة ينتج x=3+1\Rightarrow x=4 إذن، يصبح في العينة 192 خلية بعد 4 ساعات.

ويمكن حل نظام مكون من معادلتين أسيتين بكتابة طرفي المعادلة الأولى في صورة قوة للأساس نفسه، ثم مساواة أسي الطرفين، ثم تكرار ذلك في المعادلة الثانية فيتكون نظام من معادلتين.

مثال: لحل نظام المعادلات المجاور: 4^{2x}\times 2^{y}=64

9^{x}\times 3^{y}=81

نأخذ كل معادلة أسية على حدة: المعادلة الأسية الأولى: 4^{2x}\times 2^{y}=64

نحلل العددين 4,64 إلى عواملها الأولية \left (2^{2} ight )^{2x}\times 2^{y}=2^{6}

    2^{4x}\times 2^{y}=2^{6}\Rightarrow 2^{4x+y}=2^{6}

أصبح الأساس متساوي، بمساواة الأسس ينتج لدينا المعادلة الأولى وهي:  4x+y=6، نطبق نفس الخطوات السابقة على المعادلة الأسية الثانية: 9^{x}\times 3^{y}=81\Rightarrow \left (3^{2} ight )^{x}\times 3^{y}=3^{4}

3^{2x}\times 3^{y}=3^{4}\Rightarrow 3^{2x+y}=3^{4}\Rightarrow 2x+y=4

المعادلة الثانية هي: 2x+y=4 ، بعد ذلك نحل نظام المعادلات الخطي الناتج بالحذف:

\left (4x+y=6 ight ) , and -\left ( 2x+y=4 ight )

4x+y=6 , and -2x-y=-4

4x+y-2x-y=6-4\Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1 نعوض قيمة x في المعادلة الأولى لإيجاد قيمة y

\left ( x=1 ight ),4x+y=6\Rightarrow 4\times 1+y=6\Rightarrow 4+y=6\Rightarrow y=2

إذن، حل نظام المعادلات هو x=1,y=2

قد لا يكون من الممكن كتابة طرفي المعادلة الأسية على صورة قوة للأساس نفسه، عندئذ يمكن حل المعادلة بيانياً باستعمال برمجية حاسوبية أو آلة حاسبة بيانية.

مثال: حل المعادلة الأسية الآتية 5=3^{x-1} بيانياً

الحل: نلاحظ أنه ليس من الممكن كتابة طرفي المعادلة بصورة قوة للأساس نفسه، لذلك نحل المعادلة بيانياً.

الخطوة الأولى: نكتب نظام معادلات باستعمال طرفي المعادلة y=5 و y=3^{x-1}

الخطوة الثانية: نمثل المعادلتين بيانياً في المستوى نفسه باستعمال برمجية جيوجبرا.

الخطوة الثالثة: نجد إحداثيي نقطة تقاطع المنحنيين،  نقطة التقاطع A\left (2.46,5 ight )

geogebra-export-3-300x226

المصدر: كتاب "الرياضيات للمليون" للمؤلف "لانسون هوجين"كتاب "عجائب الحساب العقلي " للمؤلف "براديب كومار"كتاب "مبادىء الإحصاء" للمؤلف "الدكتور محمد سمير دركزنلي والدكتور عماد نظمي عطية"

شارك المقالة:

وسوم: الأسس النسبيةالجذر التربيعيالعدد النسبيالمعادلة الأسيةتبسيط المقادير الأسيةخصائص ضرب القوى وقسمتهانظام المعادلات

مقالات مختارة

هل تعلم

أكثر المقالات مشاهدةً