المحددات

ما هو مفهوم المحددات؟

يعرف المحدد: بأنه تنظيم مربع لمجموعة من العناصر أو التعداد في عدد من الصفوف وعدد من الأعمدة وهذا العدد هو الذي يحدد رتبة المحدد.

تعتبر المحددات من إحدى الأدوات الهامة التي ظهرت؛ لتسهيل حل العديد من العمليات الرياضية، خصوصاً المعادلات الخطية التي فيها ثلاثة مجاهيل أو أكثر حيث يصعب أو يتعذر حلها قبل ذلك بالطرق الآخرى، هذا بالإضافة إلى أن الطرق الجبرية شائعة الاستخدام لحل مثل هذه المعادلات، كما أنها لا تساعد في صياغة شروط عدم تناقض وتحديد مجموعة المعادلات الخطية بمساعدة المعاملات والحدود فإن طريقة الحذف والتعويض أيضاً لا تسمح بايجاد العلاقات التي تعطي حل هذه المجموعة بدلالة المعاملات والحدود المطلقة، كما تساعد المحددات في مجالات الإحصاء والإقتصاد الرياضي ومجالات أخرى كثيرة من مشاكل تطبيقية في الحياة العملية.

فكرة المحددات:

من خلال دراسة تحليل المعادلات الخطية، نجد أنه إذا كان لدينا معادلتين خطيتين في مجهولين:
أ ₁ س + ب ₁ ص = حـ ₁ (1)
أ ₂ س + ب ₂ ص = حـ ₂ (2)
فيمكن حل هاتين المعادلتين بطريقة الحذف وذلك وفقاً لما يلي:
أ ₁ ب ₂ س + ب ₁ ب ₂ ص = حـ ₁ ب ₂ (3)
أ ₂ ب ₁ س + ب ₁ ب ₂ ص = حـ ₂ ب ₁ (4)
وبالطرح : أ ₁ ب ₂ س – أ ₂ ب ₁ س = حـ ₁ ب ₂ – حـ ₂ ب ₁
إذا س = (حـ ₁ ب ₂ – حـ ₂ ب ₁) / (أ ₁ ب ₂ – أ ₂ ب ₁)
وبالطرح : أ ₁ ب ₂ س – أ ₂ ب ₁ س = حـ ₁ ب ₂ – حـ ₂ ب ₁

وبضرب المعادلة(2) في أ ₁، والمعادلة (1) في أ ₂ بغرض حذف المجهول س نجد أن:
أ ₂ أ ₁ س + ب ₂ أ ₁ ص = حـ ₂ أ ₁
أ ₁ أ ₂ + ب ₁ أ ₂ ص = حـ ₁ أ ₂
وبالطرح: ب ₂ أ ₁ ص – ب ₁ أ ₂ ص = حـ ₂ أ ₁ – حـ ₁ أ ₂

فإذا لم يكن ( أ ₁ ب ₂ – أ ₂ ب ₁) = صفر فإننا نكون قد حصلنا على قيمة المجهولين س، ص بطريقة الحذف:
بالنظر إلى المقام في (أولاً)، (ثانياً) نجد واحد هو عبارة عن (أ ₁ ب ₂ – أ ₂ ب ₁).
ويطلق على هذا المقدار بمحدد المعادلتين ويكتب وفقاً للصورة التالية:

وهو محدد من الرتبة الثانية (2 × 2) عناصرة أربعة هي (أ ₁ ، أ ₂ ، ب ₁ ، ب ₂) ويتكون من صفين أفقين (الصف الأول عناصرة (أ ₁ ،ب ₁) والصف الثاني عناصرة (أ ₂ ، ب ₂).
كما يتكون من عمودين رأسين (العمود الأول عناصرة أ ₁ ، أ ₂)، (العامود الثاني عناصرة ₁ ، ب ₂).
كما يسمى (أ ₁، ب ₂) بعناصر القطر الرئيسي للمحددة، في حين يطلق على (ب ₁، أ ₂) بعناصر القطر المرفق.
هذا بينما المحدد من الرتبة الثالثة (3 × 3) يتكون من ثلاث صفوف أفقية وثلاثة أعمدة رأسية، وتسعة عناصر وفقاً للشكل التالي:

وهكذا فإن المحدد من الرتبة النونية (ق × ق) يتكون من (ق) من الصفوف الأفقية، (ق) من الأعمدة الرأسية.
وفي المحدد السابقة نجد أن العمود الأول يتكون من العناصر (أ ₁ ، أ ₂، أ ₃) والعمود الثاني (ب ₁ ،ب ₂، ب ₃)
والعمود الثالث (حـ ₁ ،حـ ₂ ،حـ ₃).
يجب أن نشير هنا أن عناصر الأعمدة الثلاثة يمكن أن تأخذ كلها الرموز (أ) وما يميوها بالنسبة لترتيب كل منها بالنسبة للصفوف أو الأعمدة هو الدليل أسفل (أ) ويتكون هذا الدليل من رقمين متجاورين، الأول منها يشير إلى ترتيب العنصر بلنسبة للصف، بينما يشير الرقم الثاني إلى الترتيب العنصر بالنسبة للعمود.
فمثلاً:
(أ₁₁) يشير للعنصر الذي يقع في الصف الأول والعمود الأول.
(أ₁₂) يشير للعنصر الذي يقع في الصف الثاني والعمود الأول.
(أ ₁₃) يشير للعنصر الذي يقع في الصف الثالث والعمود الأول بينما:
(أ₂₁) يشير للعنصر الذي يقع في الصف الأول والعمود الثاني.
(أ₂₂) يشير للعنصر الذي يقع في الصف الثاني والعمود الثاني.
(_أ23) يشير للعنصر الذي يقع في الصف الثالث والعمود الثاني.
وهكذا نجد أن:
(أ _{1 ق} ) يشير للعنصر الذي يقع في الصف الأول والعمود رقم (ق).
(أ _{2 ق}) يشير للعنصر الذي يقع في الصف الثاني والعمود رقم (ق).
(أ_{3 ق}) يشير للعنصر الذي يقع في الصف الثالث والعمود رقم (ق).
(أ _{ق ق}) يشير للعنصر الذي يقع في الصف رقم (ق) والعمود (ق).
ومن كل ما تقدم نلاحظ أن عدد الصفوف في أي محدد من رتبة ما لا بد أن يتساوي عدد الأعمدة في نفس المحدد وعليه يمكن تعريف المحدد (بأنه تنظيم مربع لمجموعة من العناصر أو التعداد في عدد من الصفوف وعدد من الأعمدة وهذا العدد هو الذي يحدد رتبة المحدد).
ولكل محدد من المحددات أي كانت رتبة قيمة وحيدة (قد تكون موجبة أو سالبة أو صفر) يمكن الوصول إليها بفك هذا المحدد.