طرق إيجاد النهايات

الطريقة المباشرة:

الطريقة المباشرة: وبمقتضاها يتم التعويض بقيمة س مباشرة في د (س) فإذا كانت د (س) لها قيمة محددة فإن تلك القيمة المحددة تكون هي النهاية المطلوبة.

طريقة التحليل:

تستخدم طريقة التحليل إذا كانت د (س) = قيمة غير محددة.
إيجاد النهايات في حالة ما إذا كانت د (أ) = (صفر / صفر) عندما س تؤول إلى (أ):
وبمقتضى طريقة التحليل يتم تحليل كل من البسط والمقام (إذا كانت دالة جبرية كسرية) إلى عواملها الأولية، ثم يتم اختصار ما يمكن اختصاره من البسط والمقام ثم يتم حسب قيمة د (س) النهائية بالتعويض بقيمة (س) المحدد.

إذاً د (س) = س ² + 3 س + 9 (بالتعويض عن قيمة س = 3)
إذاً نهاية د (س) عندا س تؤول إلى (3) ( س ² + 3 س + 9)
= 9 + 9 + 9 = 27

الطريقة العامة:

ونفضل استخدامها إذا كانت د (س) دالة جبرية كسرية وتعذر تحليل البسط والمقام فيهما إلى عواملها الأولية وبمقتضى هذه الطريقة سنختار (س) التي نعوض بها في د (س) على أساس افتراض أن س = (أ + Δ) حيث (Δ) مقدار صغير جداً ثم نوجد قيمة د (س) عندما تقترب (Δ) من الصفر أي تقترب (س) من قيمة (أ).

حل المثال السابق باستخدام الطريقة العامة:
نضع س = (3 +Δ ) حيث (Δ) مقدار صغير جداً
إذاً د (س) = د (3 + Δ)

ولما كانت (Δ) مقدار صغير جداً فانه عندما (س) تؤول إلى (3) فإن (Δ) تؤول إلى (صفر)

قواعد النهايات:

• نهاية حاصل ضرب مقدار ثابت في دالة تساوي المقدار الثابت مضروباً في نهاية الدالة، أي أن:
  

• نهاية المجموع الجبري لدالتين أو أكثر تساوي المجموع الجبري لنهاية الدالتين أو أكثر وبفرض أن:
  نهــــــــــا د ₁ (س) = أ، نهــــــــــا د ₂ (س) = ب، نهــــــــــا د ₃ (س) = جـ  
  فإذا كانت نهــــــــــا [ د ₁ (س) + د ₂ (س) + د ₃ (س)]  
  = نهــــــــــا د ₁ (س) + نهــــــــــا د ₂ (س) + نهــــــــــا د ₃ (س)
  = أ + ب + جـ
  
• نهاية حاصل ضرب دالتين أو أكثر = حاصل ضرب نهاية هذه الدوال أي أن:
  نهــــــــــا د ₁ (س) = أ، نهــــــــــا د ₂ (س) = ب، نهــــــــــا د ₃ (س) = جـ  
  فإذا كانت نهــــــــــا [ د ₁ (س) × د ₂ (س) × د ₃ (س)]  
  = نهــــــــــا د ₁ (س) × نهــــــــــا د ₂ (س) × نهــــــــــا د ₃ (س)
  = أ × ب × جـ
  
• نهاية خارج قسمة دالتين تساوي خارج قسمة النهايتين بشرط أن نهاية المقام لا تساوي صفر أي أن: