مجموعات الأعداد في الرياضيات

نجد بأنّ الأعداد تتواجد في العديد من المعادلات المختلفة والهدف المشترك بينها هو تمثيل الكميات المختلفة، هناك عدة أنواع مختلفة من الأعداد، كما توجد مجموعات مختلفة من الأعداد وهي مفيدة في وصف العديد من الأشياء المختلفة، لاستخدام هذه الأعداد ومجموعاتها المختلفة بشكل صحيح، كما من المهم جداً معرفة خصائص هذه الأعداد المختلفة وخصائص مجموعاتها، ومن المهم أيضاً أن يتفق جميع الناس على كيفية الحساب بالأعداد لتوحيد المعنى.

الأعداد الطبيعية

الأعداد الطبيعية: هي عبارة عن نوع من الأعداد التي استخدمها الناس منذ فترة طويلة، فالأعداد الطبيعية هي جميع الأعداد الصحيحة التي أكبر من أو تساوي الصفر: 0،1،3،2، أي هي الأعداد الموجبة الصحيحة التي نستخدمها في الحساب الطبيعي، ابتداء من الـ 1 ثمّ الأعداد الأكبر فالأكبر إلى مالا نهاية بالإضافة إلى الـ 0 وهو عبارة عن عدد غير موجب وغير سالب، ولكن بصورة عامة يُعتبر من الأعداد الطبيعية.

عادةً ما يُرمز لمجموعة الأعداد الطبيعية بالآتي: ⟦N=⟦0,1,2,3

الأعداد الصحيحة

إذا أخذنا جميع الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى جميع الأعداد الصحيحة السالبة سنحصل على مجموعة من الأعداد، والتي تسمّى بالأعداد الصحيحة، تستمر الأعداد الصحيحة إلى ما لانهاية في كل من الاتجاه الموجب والاتجاه السالب، وتتميز بعدد من الخصائص مثل: (الخاصية التجميعية والتبادلية والتجميعية والانغلاق) وغيرها من الخصائص المختلفة.

يُرمز لمجموعة الأعداد الصحيحة بالحرف Z ( أصلها من الكلمة الألمانية Zahl والتي تعني “عدد”) وهي كالآتي: ⟦Z = ⟦-3،-2،-1،0،1،2،3

الأعداد الصحيحة إمّا أن تكون زوجية أو فردية، على سبيل المثال الأعداد الصحيحة (2 ، 42) هي عبارة عن أعداد زوجية، والأعداد الصحيحة (1، 17 و 175-)، هي عبارة عن أعداد فردية، فإذا كان العدد الصحيح يقبل القسمة علـى 2 فهو عدد زوجي، أمّا إذا كان لا يقبل القسمة على 2 فهو عدد فردي، على سبيل المثال العدد 6 هو عبارة عن عدد صحيح زوجي لأنّه يقبل القسمة علـى 2 أي يمكن تقسيمه على 2 دون باقي، أمّا العدد 7 فهو عبارة عن عدد صحيح فردي لأنّه لا يقبل القسمة على 2 أي لا يمكن تقسيمه على 2 دون باقي.

الأعداد النسبية

العدد النسبي: هو عبارة عن كل عدد يمكن كتابته على صورة أ / ب، بحيث ب لا يساوي صفر أو هو الذى يمكن كتابته على صورة عدد عشري منتهي أو دوري، فهي جميع الأعداد الصحيحة والأعداد الكسرية التي يمكن كتابتها في صورة:

A / B، بحيث أنّ B لا تساوي صفر، حيث أنّ A و B أعداد صحيحة.

من الأمثلة على الأعداد النسبية التي يرمز لها بالرمز (Q= (0.5 ، 4 ، 8/6 ، -5

الأعداد غير النسبية

الأعداد غير النسبية: هي جميع الأعداد التي لا يمكن كتابتها في صورة نسبة بين عددين صحيحين هي أعداد غير نسبية، تشمل أمثلة الأعداد الغير النسبية كل من 2√ (الجذر التربيعي للعدد الصحيح الغير مُربع)، (π (pi والعدد e، فهي جزء مهم في العمليات الحسابية (الضرب والقسمة والجمع والطرح)، فضلاً عن استخدامها في حساب الطرق المئوية والنسب وغيرها من العمليات الأساسية في تكوين علم الرياضيات.

أيضاً هي عبارة عن كل عدد لا يمكن كتابته على صورة (أ / ب)، بحيث ب لا يساوي صفر، أو هو الذي لا يمكن كتابته على صورة عدد عشري منتهِ أو دوري، فهي للجذور التربيعية للأعداد غير المربعة بشكل كامل أعداد غير نسبية، أمّا الجذور التكعيبية للأعداد غير التكعيبية بشكل كامل أعداد غير نسبية، إنّ مجموعة الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية هما مجموعتان منفصلتان.

الأعداد الحقيقية

الأعداد الحقيقية: هي عبارة عن الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية جميعها معاً وهي التي تشكل الأعداد الحقيقية، كما يرمز لمجموعة الأعداد الحقيقية بالحرف R، وفي مجموعة الأعداد الحقيقية نلاحظ بأنّه تأخذ الأعداد الحقيقية اسمها من تضادها مع فكرة الأعداد التخيلية.
كما يمكن لها أن تقوم بقياس الكميات المستمرة على اختلافها، يمكن التعبير عنها بالكسور العشرية التي تكون عادةً سلسلة من الأرقام غير المنتهية وغير الدورية في حالة الأرقام غير الكسرية أو دورية في حالة الأعداد الكسرية، إذا نشأت فكرة الأعداد الحقيقية بسبب وجود أطوال لا يمكن التعبير عن قياسها باستعمال أعداد صحيحة طبيعية أو كسرية أو أعداد جذرية.

مجموعات الأعداد معا

كل مجموعة من هذه المجموعات تصف أنواع مختلفة من الأعداد، ترتبط هذه المجموعات وأعدادها وفقاً لما يلي: الأعداد الطبيعية N تدخل ضِمن مجموعة الأعداد الصحيحة Z، التي بدورها تدخل ضِمن مجموعة الأعداد النسبية Q، والتي هي أيضاً بدورها تدخل ضِمن مجموعة الأعداد الحقيقية R.