نظرية الفوضى الكلاسيكية والديناميات غير الخطية

ما هي نظرية الفوضى الكلاسيكية:

شكلت نظرية الأنظمة الديناميكية غير الخطية (نظرية الفوضى) التي تتعامل مع الأنظمة الحتمية التي تُظهر سلوكًا معقدًا يبدو عشوائيًا مجالًا متعدد التخصصات للبحث، وأثرت على كل مجال من مجالات العلوم تقريبًا في العشرين عامًا الماضية، إذ تعد علوم الحياة من أكثر المجالات القابلة للتطبيق لأفكار الفوضى بسبب تعقيد النظم البيولوجية.

من المعروف على نطاق واسع أن السلوك الفوضوي يهيمن على الأنظمة الفسيولوجية، حيث تم اقتراح هذا من خلال الدراسات التجريبية وتم تشجيعه أيضًا من خلال النمذجة الناجحة جدًا، كما ترتبط الديناميكيات الدوائية ارتباطًا وثيقًا بالعمليات الفسيولوجية المعقدة، وتتطلب الآثار المترتبة على هذه العلاقة أن يتم تبني النهج الجديد للديناميكيات غير الخطية بدرجة أكبر في الدراسات الدوائية.

هذا ضروري ليس فقط من أجل دراسة أكثر تفصيلاً ولكن بشكل أساسي؛ لأن الديناميكيات غير الخطية تقترح أساسًا منطقيًا جديدًا تمامًا يختلف جوهريًا عن النهج الكلاسيكي، إذ يتم تقديم المبادئ الأساسية للأنظمة الديناميكية ويتم مراجعة تطبيقات الديناميات غير الخطية في الموضوعات ذات الصلة ببحوث الأدوية وخاصة الديناميكا الدوائية، كما يتم التركيز بشكل خاص على ثلاثة مجالات رئيسية للأنظمة الفسيولوجية ذات أهمية كبيرة في العلاج الدوائي وهي أنظمة القلب والأوعية الدموية والجهاز العصبي المركزي وأنظمة الغدد الصماء، حيث تم تطبيق أدوات ومفاهيم من الديناميكيات غير الخطية.

أظهرت الدراسات النظرية والتجريبية لمختلف الأنظمة الطبية الحيوية بما في ذلك القلب والدماغ ونظام المناعة والعديد من النظم البيئية أن العديد من هذه الأنظمة يمكن وصفها بمصطلحات الديناميات غير الخطية، حيث هناك نتيجتان مهمتان لهذا السلوك الديناميكي غير الخطي هما اللارجعة وعدم القدرة على التنبؤ، بسبب السلوك الفوضوي لهذا النوع من النظام.

ما هي الأنظمة الديناميكية غير الخطية؟

ربما تكون أهم مساهمة لنيوتن ولايبنتز في العلم هي إدخال مفهوم الأنظمة الديناميكية في الفيزياء حيث يمكن اعتبار أي نظام قيد الدراسة تقريبًا، سواء كانت مدارات خطية أو إلكترونيات أشباه الموصلات أو الغلاف الجوي للأرض نظام دينامي كال.

النظام الديناميكي هو نظام بسيط يمكن وصفه بـ (أ)، مجموعة من المعلمات التي تحدد قيمها حالتها في نقطة زمنية معينة، و (ب) مجموعة من القواعد المحددة رياضيًا والتي تحدد تغيير حالة النظام في الوقت المناسب، إذ يتم تحديد هذه القواعد بشكل عام على أنها معادلات تفاضلية وتحديد معدل التغيير لكل من البارامترات التي تصف النظام، كدالة للحالة الحالية للنظام وهذا التعريف واسع جدًا بالفعل والعديد من الأنظمة في علم الأحياء والطب، يمكن وصف ودراسة الاقتصاد والعلوم الاجتماعية كنظم ديناميكية.

ومن الأمثلة المعروفة على ذلك النظام البيئي لنموذج( Lotka-Volterra )المفترس والفريسة، تتكون مجموعة الأرقام التي تصف هذا النظام من (1) عدد الحيوانات المفترسة، و (2) عدد الفريسة، كما تحدد القواعد أن عدد الفريسة يزداد بمعدل يتناسب مع العدد الحالي (النمو الأسي) في غياب الحيوانات المفترسة، وعندما تظهر الحيوانات المفترسة عدد الفريسة التي تم اصطيادها وهو ما يتناسب مع كل من عدد الحيوانات المفترسة و(3 ) يجب طرح عدد الفريسة.

تتضور الحيوانات المفترسة جوعا في غياب الفريسة (الانحطاط الأسي) وتنمو بشكل متناسب مع عدد الفريسة التي تم صيدها (يتناسب مرة أخرى مع نتاج الفريسة وأعداد المفترس)، وقد يُظهر هذا النظام تذبذبات مبللة وغير مخمدة ومتزايدة بين المفترس والفريسة، من خلال تحديد الشروط الأولية (على سبيل المثال من الملاحظة) وحل المعادلات التفاضلية المعنية، من الممكن من حيث المبدأ نمذجة أو التنبؤ بالسلوك المستقبلي للنظام البيئي ويسمى تسلسل الحالات التي يمر بها النظام في الوقت المدار.

إذا كان النظام مشتتًا أي أنه يفقد الطاقة بطريقة ما (ومعظم الأنظمة تفعل ذلك) فإن المدارات تتقارب مع مجموعة فرعية صغيرة من جميع الحالات المحتملة تسمى الجاذب، وأبسط نوع من الجاذبين هو نقطة واحدة: يصبح النظام ثابتًا، بحيث يقال أن النظام في حالة سكون أو في حالة توازن ديناميكي.

نوع آخر من الجاذبات يسمى دورة الحد: يتذبذب النظام بتردد وسعة ثابتة، وقد يحتوي النظام على العديد من الجاذبات وتحدد الشروط الأولية الجاذب الذي سيتقارب فيه النظام، مجموعة الحالات الأولية التي يتقارب فيها النظام مع جاذب معين تسمى حوض جذب ذلك الجاذب، إذ قد يكون للنظام البيئي من نوع( Lotka-Volterra) إما نقطة جذب أي أن المجموعات تصبح مستقرة أو قاطع دائري محدود أي أن تذبذبات المفترس والفريسة تظل مستقرة (على سبيل المثال)، اعتمادًا على نوع القواعد المحددة فان الأنظمة الديناميكية إما خطية أو غير خطية.

في النظام الديناميكي الخطي تكون المعادلات التفاضلية خطيةمما يعني أن تأثيرات التغييرات في حالة النظام تكون مضافة ومتناسبة مع حجم التغييرات، ونتيجة تغيير المعلمات المتعددة في وقت واحد هي ببساطة تراكب للتغيير في كل معلمة فردية، حيث تعني الطبيعة المضافة للتغييرات في النظام أنه يمكن دراسة كل معلمات مختلفة للنظام على حدة.

علاوة على ذلك فإن الطبيعة الخطية للمعادلات تضمن في ظل حالة أولية تعريف مدار النظام بشكل فريد، وهذا يعني أن النظام قابل لعكس الزمن ويمكن التنبؤ به: ربما يتم استنتاج الماضي والمستقبل بدقة تعسفية من الحالة الحالية، وعلاوة على ذلك فإن عوامل الجذب مضمونة، كما يجب أن تكون بسيطة ويمكن حل المعادلات بسهولة تامة (حتى مع أنظمة الورق والقلم الرصاص الصغيرة).

بسبب كل هذه الميزات تمت دراسة الأنظمة الخطية أكثر، إذ قبل ظهور أجهزة الكمبيوتر الإلكترونية كانت البساطة الرياضية أحد الأسباب المهيمنة لدراسة الأنظمة الخطية ولكن ربما كان السبب الأكثر دقة هو نفس القدر من الأهمية، بحيث أعطى تفرد المدار مصداقية لفكرة الكون الديكارتي الساعة.

تم تعيين جميع الشروط في وقت الخلق وسوف ترى آلية عمل الساعة لميكانيكا نيوتن تلقائيًا الباقي، وتوفر المدارات الفريدة أيضًا حتمية كاملة والتي لا يمكن ضمان وجودها للأنظمة الديناميكية غير الخطية إلى جانب ذلك، فقد قيل (ولا يزال) أن العديد من الأنظمة غير الخطية (مثل البندول البسيط) يمكن تقريبها من خلال نظام خطي لدرجة أنه لا توجد حاجة لحل الشكل غير الخطي الأكثر تعقيدًا.

على النقيض في الأنظمة غير الخطية تكون التغييرات المعلمات المتعددة مضافة ولا تتناسب مع حجم التغييرات، إذ لا يمكن بشكل عام دراسة آثار تغيير المتغيرات الفردية بشكل منفصل كما في الحالة الخطية، علاوة على ذلك لا يجب أن يكون مدار النظام فريدًا لحالة أولية معينة، وفي مثل هذه الحالات تحدث التشعبات: أماكن في المدار حيث يكون هناك مساران محتملان في المستقبل مفتوحان للنظام، ولا توجد وسائل حتمية للاختيار بين المسارين، إذ يتسلل عنصر العشوائية إلى الميكانيكا في العديد من الأنظمة غير الخطية التي تحتوي على أكثر من ثلاثة معلمات يمكن تعيينها بحرية (أو درجات الحرية) قد يحدث تأثير يسمى الفوضى.

ربما تم العثور على أشهر مثال على الفوضى في علم الأرصاد الجوية حيث أظهر لورنز أن أنماط التدفق الحتمية ولكن غير المنتظمة للغاية توجد داخل أنظمة الطقس، وعندما تحدث الفوضى لا يمكن للجاذب وصفه بأشكال بسيطة مثل الدورات المحدودة أو الخطوط المستقيمة أو النقاط؛ الجاذب له يظهر الشكل الكسوري .

الفوضى وأنظمة التحكم:

قد يبدو وجود الفوضى ميزة في أنظمة التحكم، إذا كانت الاستجابة السريعة مطلوبة وقد تبدو الأنظمة الفوضوية غير موثوقة على الإطلاق نظرًا لحساسيتها الشديدة تجاه الظروف الأولية.

مع ذلك لوحظ أن نفس الحساسية تسمح بآلية تحكم للتحكم في النظام بإشارات تصحيحية صغيرة جدًا، شريطة أن يتم تحليل الفوضى النامية بسرعة، أي أن التغذية الراجعة المناسبة متوفرة والإعلانات الصغيرة جدًا لها تأثيرات كبيرة، وقد تكون ذات أهمية خاصة لأنظمة المكافحة البيولوجية.

تغيير طريقة التشغيل على سبيل المثال القلب أو الجهاز العصبي أو الجهاز المناعي بسرعة ودون إنفاق كميات كبيرة من الطاقة له أهمية حيوية فعليًا لأي كائن حي، حيث من المحتمل ألا تكون الخطوات التصحيحية الثابتة والخطوات التصحيحية الصغيرة؛ للحفاظ على مثل هذه الأنظمة في الوضع الصحيح بمثابة عيب؛ لأن إنفاق الطاقة يمكن أن يكون صغيرًا للأنظمة الفوضوية.

لقد لوحظت ديناميات الفوضى بالفعل على سبيل المثال التغيرات في معدل ضربات القلب على الرغم من أنه لا يزال هناك بعض الجدل حول أهمية ومعنى هذه النتائج، لقد لوحظ أن انخفاض التباين (وربما الفوضى) في معدل ضربات القلب قد يشير إلى أمراض القلب من ناحية أخرى يبدو أن الرجفان فوضوي للغاية بطبيعته، مع أبعاد كسورية عالية، إذ أن الكثير من الفوضى لا يمكن السيطرة عليها، وزُعم أيضًا أن الفوضى موجودة في مخطط كهربية الدماغ (EEG) ومع ذلك، فقد تم استخدام البعد الفركتلي للجاذب كمقياس لتعقيد أنماط تخطيط أمواج الدماغ.