الانسحاب والانعكاس في المستوى الإحداثي

اقرأ في هذا المقال

الانسحاب في المستوى الإحداثي
الانعكاس في المستوى الإحداثي

ينتج المستوى الإحداثي من تقاطع خطيّ أعداد، أحدهما أفقي، والآخر رأسي عند نقطة الصفر في كليهما. يسمى خط الأعداد الأفقي المحور $\large x$ ، ويسمى خط الأعداد الرأسي (العمودي) المحور $\large y$ . أما نقطة تقاطعهما فتسمى نقطة الأصل $\large \left ( 0,0 ight )$ ، ويقسّم محورا $\large x,y$ المستوى الإحداثي إلى أربعة أرباع. حيث إن موقع كل نقطة على المستوى الإحداثي يحدده زوج من الأعداد، يكتب في صورة $\large \left ( x,y ight )$ ويسمى زوجاً مرتباً.

الانسحاب في المستوى الإحداثي

الانسحاب: هو انتقال الشكل من مكان إلى آخر من دون تغيير أبعاده أو تدويره، ويطلق على الشكل الناتج من الانسحاب اسم الصورة. ولعمل انسحاب شكل بمقدار $\large a$ وحدة أفقياً، و $\large b$ وحدة رأسياً على المستوى الإحداثي، نحرك كل رأس من رؤوسه بمقدار $\large a$ وحدة أفقياً، و $\large b$ وحدة رأسياً.

مثال: نرسم $\large \bigtriangleup ABC$ الذي إحداثيات رؤوسه $\large A\left ( -2,4 ight ),B\left ( 0,1 ight ),C\left ( 3,2 ight )$ ثم نجد إحداثيات رؤوسه تحت تأثير: انسحاب $\large 4$ وحدات إلى اليمين و $\large 3$ وحدات إلى الأعلى.

الحل: الخطوة الأولى:

نرسم المثلث على المستوى الإحداثي.

نحدد النقاط التي تمثل رؤوس المثلث على المستوى الإحداثي.

نصل بين النقاط لنرسم المثلث.

الخطوة الثانية: نسحب رؤوس المثلث: نسحب كلاً من رؤوس المثلث $\large 4$ وحدات إلى اليمين، و $\large 3$ وحدات إلى الأعلى.

أي أنَّ إحداثيات رؤوس الصورة هي: $\large {A}'\left ( 2,7 ight ),{B}'\left ( 4,4 ight ){C}'\left ( 7,5 ight )$

نلاحظ في المثال السابق أن إحداثيات النقطة $\large A\left ( -2,4 ight )$ بالانسحاب $\large 4$ وحدات إلى اليمين و $\large 3$ وحدات إلى الأعلى قد أصبحا $\large {A}'\left ( 2,7 ight )$ ، أي إن: $\large A\left ( -2,4 ight )ightarrow {A}'\left ( -2+4,4+3 ight )$

يمكن إيجاد قاعدة عامة اعتماد على هذه الملاحظة، واستعمالها لتحديد صورة نقطة على المستوى الإحداثي تحت تأثير انسحاب معطى من دون أن نرسم.

قاعدة عامة:

لعمل انسحاب للزوج المرتب $\large \left ( x,y ight )$ بمقدار $\large a$ وحدة أفقياً، و $\large b$ وحدة رأسياً على المستوى الإحداثي، نجمع $\large a$ مع الإحداثي $\large x$ ، و $\large b$ مع الإحداثي $\large y$ أي أن: $\large \left ( x,y\ ight )ightarrow \left ( x+a,y+b ight )$ .

إذا كانت $\large a$ موجبة فالانسحاب إلى اليمين، وإذا كانت سالبة فالانسحاب إلى اليسار.

إذا كانت $\large b$ موجبة فالانسحاب إلى أعلى، وإذا كانت سالبة فالانسحاب إلى الأسفل.

مثال: جد إحداثيات صور النقاط المعطاة في ما يأتي تحت تأثير انسحاب مقداره $\large 4$ وحدات إلى اليسار، و $\large 10$ وحدات إلى الأعلى:

1) $\large A\left ( 6,8 ight )$ ، قاعدة الانسحاب: $\large \left ( x,y\ ight )ightarrow \left ( x-4,y+10 ight )$

$\large A\left ( 6,8 ight )ightarrow {A}'\left ( 6-4,8+10 ight )$ $\large A\left ( 6,8 ight )ightarrow {A}'\left ( 2,18 ight )$

2) $\large B\left ( 4,-9 ight )$ ، قاعدة الانسحاب: $\large \left ( x,y\ ight )ightarrow \left ( x-4,y+10 ight )$ $\large B\left ( 4,-9 ight )ightarrow {B}'\left ( 4-4,-9+10 ight )$ $\large B\left ( 4,-9 ight )ightarrow {B}'\left ( 0,1 ight )$

يمكن تحديد قاعدة الانسحاب الذي ينقل شكلاً إلى صورته على المستوى الإحداثي، وذلك بتحديد المسافة الأفقية والمسافة الرأسية بين الشكل وصورته.

لعمل انسحابين متتاليين على شكل، نطبق قاعدة الانسحاب الأولى على الشكل الأصلي أولاً، ثم نطبق قاعدة الانسحاب الثانية على صورة الشكل الأصلي.

الانعكاس في المستوى الإحداثي

الانعكاس: هو تحويل هندسي ينقل الشكل من إحدى جهتي محور الانعكاس إلى الجهة الأخرى على البعد نفسه من محور الانعكاس، من دون تغيير أبعاد الشكل أو تدويره، خلافاً للاتجاه الذي يتغير (ينقلب).

لعمل انعكاس لنقطة في المستوى الإحداثي حول المحور $\large x$ أو المحور $\large y$ (محور الانعكاس)، نجد المسافة بين تلك النقطة ومحور الانعكاس، ثم نحدد موقع صور النقطة على الجهة الأخرى من محور الانعكاس، التي تبعد المسافة نفسها عنه.

لعمل انعكاس لشكل مرسوم في المستوى الإحداثي حول المحور $\large x$ أو $\large y$ ، نعمل انعكاس لكل من رؤوس الشكل، ثم نصل بين صور الرؤوس لتكوين صورة الشكل كاملاً.

مثال: $\large ABC$ مثلث إحداثيات رؤوسه هي $\large A\left ( 1,1 ight ),B\left ( 1,4 ight ),C\left ( 3,4 ight )$ أولاً: نرسم المثلث $\large {A}'{B}'{C}'$ الذي هو انعكاس للمثلث $\large ABC$ حول المحور $\large x$ ثم نحدد إحداثيات رؤوسه.

الحل: الخطوة الأولى: نجد إحداثيات رؤوس الصورة

نجد عدد الوحدات بين كل رأس من رؤوس المثلث $\large ABC$ ومحور الانعكاس (المحور $\large x$ ) لنحدد إحداثيات صور الرؤوس

يقع الرأس $\large A\left ( 1,1 ight )$ على بعد وحدة واحدة فوق المحور $\large x$ ؛ لذا تكون صورته على بعد وحدة واحدة أسفل المحور $\large x$ .

يقع الرأسان $\large B\left ( 1,4 ight ),C\left ( 3,4 ight )$ على بعد $\large 4$ وحدات فوق المحور $\large x$ ، لذا تكون صورته على بعد $\large 4$ وحدات أسفل المحور $\large x$ .

الخطوة الثانية: نرسم الصور على المستوى الإحداثي.

نصل بين الرؤوس الجديدة، فتنتج صورة $\large \bigtriangleup ABC$ أي $\large \bigtriangleup {A}'{B}'{C}'$ .

الخطوة الثالثة: نكتب إحداثيات رؤوس الصورة.

إحداثيات صور رؤوس المثلث بالانعكاس حول المحور $\large x$ هي: $\large {A}'\left ( 1,-1 ight ),{B}'\left ( 1,-4 ight ),{C}'\left ( 3,-4 ight )$

geogebra-export-5-300x173

ثانياً: نرسم المثلث $\large {A}''{B}''{C}''$ الذي هو انعكاس للمثلث $\large ABC$ حول المحور $\large y$ ، ثم نحدد إحداثيات رؤوسه.

الحل: الخطوة الأولى: نجد إحداثيات رؤوس الصورة.

نجد عدد الوحدات بين كل رأس من رؤوس المثلث $\large ABC$ ومحور الانعكاس (المحور $\large y$ )؛ لنحدد إحداثيات صور الرؤوس.

يقع الرأسان $\large A\left ( 1,1 ight ),B\left ( 1,4 ight )$ على بعد وحدة واحدة يمين المحور $\large y$ ؛ لذا تكون صورة كل منهما على بعد وحدة واحدة يسار المحور $\large y$ .

يقع الرأس $\large C\left ( 3,4 ight )$ على بعد $\large 3$ وحدات يمين المحور $\large y$ ؛ لذا تكون صورته على بعد $\large 3$ وحدات يسار المحور $\large y$ .

الخطوة الثانية: نرسم الصور على المستوى الإحداثي، ثم نصل بين الرؤوس الجديدة، فتنتج صورة $\large \bigtriangleup ABC$ أي $\large \bigtriangleup {A}''{B}''{C}''$ .

الخطوة الثالثة: نكتب إحداثيات رؤوس الصورة.

إحداثيات صور رؤوس المثلث بالانعكاس حول المحور $\large y$ هي: $\large {A}''\left ( -1,1 ight ),{B}''\left ( -1,4 ight ),{C}''\left ( 3,-4 ight )$

geogebra-export-4-1-300x173

نلاحظ في المثال السابق أن إحداثيي النقطة $\large A\left ( 1,1 ight )$ بالانعكاس حول المحور $\large x$ هما النقطة $\large {A}'\left ( 1,-1 ight )$ ؛ أي إن: $\large A\left ( 1,1 ight )ightarrow {A}'\left ( 1,-1 ight )$ ونلاحظ أيضاً أن إحداثيي النقطة $\large A\left ( 1,1 ight )$ بالانعكاس حول محور $\large y$ هما النقطة $\large {A}''\left ( -1,1 ight )$ ؛ أي إن: $\large A\left ( 1,1 ight )ightarrow {A}''\left ( -1,1 ight )$

يمكن إيجاد قاعدة عامة اعتمادا على هذه الملاحظة، واستعمالها لإيجاد إحداثيات صورة كل رأس من رؤوس شكل معطى بعد عمل انعكاس حول المحور $\large x$ أو $\large y$ .

قاعدة عامة:

لعمل انعكاس للزوج المرتب $\large \left ( x,y ight )$ حول المحور $\large x$ ، نعكس إشارة الإحداثي $\large y$ .

لعمل انعكاس للزوج المرتب $\large \left ( x,y ight )$ حول المحور $\large y$ ، نعكس إشارة الإحداثي $\large x$ .

انعكاس النقطة $\large A\left ( x,y ight )$ حول المحور $\large x$ هو $\large A\left ( x,y ight )ightarrow {A}'\left ( x,-y ight )$ .

انعكاس النقطة $\large A\left ( x,y ight )$ حول المحور $\large y$ هو $\large A\left ( x,y ight )ightarrow {A}''\left ( -x,y ight )$ .

مثال: $\large LMNK$ شكل رباعي إحداثيات رؤوسه هي: $\large L\left ( 5,5 ight ),M\left ( 6,2 ight ),N\left ( 3,1 ight ),K\left ( 2,5 ight )$ ما هي إحداثيات صور رؤوسه بالانعكاس حول المحور $\large x$ .

الحل: نكتب إحداثيات الرؤوس

انعكاس النقطة $\large A\left ( x,y ight )$ حول المحور $\large x$ هو $\large A\left ( x,y ight )ightarrow {A}'\left ( x,-y ight )$

$\large L\left ( 5,5 ight )ightarrow {L}'\left ( 5,-5 ight )$

$\large M\left ( 6,2 ight )ightarrow {M}'\left ( 6,-2 ight )$

$\large N\left ( 3,1 ight )ightarrow {N}'\left ( 3,-1 ight )$

$\large K\left ( 2,5 ight )ightarrow {K}'\left ( 2,-5 ight )$

إذن، إحداثيات صور الرؤوس هي: $\large {L}'\left ( 5,-5 ight ),{M}'\left ( 6,-2 ight ),{N}'\left ( 3,-1 ight ),{K}'\left ( 2,-5 ight )$

للانعكاس على المستوى الإحداثي كثير من التطبيقات الحياتية.

مثال: أعدت مصممة أزياء تصميماً لقميص باستعمال برنامج حاسوبي، وذلك بعمل انعكاس حول المحور $\large y$ لشكل سداسي إحداثيات رؤوسه $\large P\left ( 0,0 ight ), Q\left ( -2,0 ight ),R\left ( -1,3 ight ),S\left ( -4,3 ight ),T\left ( -2,5 ight ),V\left ( 0,5 ight )$ ، نجد إحداثيات رؤوس الصورة، ثم مثل نمثل تصميم الشكل السداسي وصورته على المستوى الإحداثي.

الحل: لعمل انعكاساً للأزواج المرتبة التي تمثل رؤوس الشكل السداسي حول المحور $\large y$ نعكس إشارة الإحداثي $\large x$ لكل منها $\large A\left ( x,y ight )ightarrow {A}''\left ( -x,y ight )$

$\large P\left ( 0,0 ight )ightarrow {P}''\left ( 0,0 ight )$

$\large Q\left ( -2,0 ight )ightarrow {Q}''\left ( 2,0 ight )$

$\large R\left ( -1,3 ight )ightarrow {R}''\left ( 1,3 ight )$

$\large S\left ( -4,3 ight )ightarrow {S}''\left ( 4,3 ight )$

$\large T\left ( -2,5 ight )ightarrow {T}''\left ( 2,5 ight )$

أي إن إحداثيات الصورة بالانعكاس حول المحور $\large y$ هي $\large {P}''\left ( 0,0 ight ),{Q}''\left ( 2,0 ight ),{R}''\left ( 1,3 ight ),{S}''\left ( 4,3 ight ),{T}''\left ( 2,5 ight ),{V}''\left ( 0,5 ight )$ .

المصدر: كتاب "نظرية الببغاء" للمؤلف "دنيس جيدج"كتاب "الرياضيات للمليون" للمؤلف "لانسوت هوجين"كتاب "الرياضيات للفضوليين" للمؤلف "بيتر إم هيجنز"كتاب "عجائب الحساب العقلي" للمؤلف "براديب كومار"

الانسحاب والانعكاس في المستوى الإحداثي

الانسحاب في المستوى الإحداثي

الانعكاس في المستوى الإحداثي

مقالات مختارة

قصة قصيدة سلوا صهوات الخيل يوم الوغى عنا

الاتزان الاستاتيكي

دور الذكاء الاصطناعي في رصد تفشي فيروس كورونا المستجد؟

هل تعلم

دور الذكاء الاصطناعي في رصد تفشي فيروس كورونا المستجد؟

فوائد GPT لوسائل التواصل الاجتماعي وتطبيقات الويب

لعبة Rail Rush

أكثر المقالات مشاهدةً

ﻭﺍﻟﺴﻴﻒ ﻓﻲ ﺍﻟﻐﻤﺪ ﻻ تخشى ﻣﻀﺎﺭﺑﻪ ﻭﺳﻴﻒ ﻋﻴﻨﻴﻚ ﻓﻲ ﺍلحالين ﺑﺘﺎﺭ

الأدعية المستحبة عند السعي بين الصفا والمروة في الحج

كيفية تصفح الفيس بوك بدون تسجيل الدخول