مفهوم التباديل:
تعرف التباديل بأنها عدد طرق الاختيار لمجموعة محددة من الأشياء سواء أُخذت كلها أو بعضها في الاختيار مع الإخذ في الاعتبار التراتيب المختلفة عند البدء بالاختيار.
عدد التباديل المختلفة:
إذا تم الرمز إلى المجموعة المحددة من الأشياء بالرمز (ق)، وتم الرمز إلى جزء محدد منها بالرمز (ر) حيث ( ر< ق) وكان يجب ترتيب هذا الجزء، فإن عدد طرق تراتيب هذا الجزء من الكل يرمز لها بالرمز قلر:
ويطلق عليها عدد التباديل المختلفة لـ (ق) من الأشياء مأخوذة منها “ر” في كل مرة، ومن القاعدة السابقة في التراتيب نجد أن:
[ قلر = ق (ق – 1) (ق -2) (ق – 3) ……..(ق – ر -1) …] (1).
ويتم الملاحظة أن الطرف الأيسر عبارة عن حاصل ضرب عدد من العوامل المتتالية تبدأ بالعامل (ق)، ثم يقل كل عامل عن من سبقه بمقدار واحد حتى يتم الوصول إلى الحد (ق – ر + 1).
ولتفسير ذلك :
المكان الأول يمكن شغله بطرق عددها (ق) طريقة.
المكان الثاني يمكن شغله بعدد من الطرق عدهها (ق – 1) طريقة.
المكان الثالث يمكن شغله بعدد من الطرق عددها (ق – 2) طريقة.
المكان الرابع يمكن شغله بعدد من الطرق عددها (ق – 3) طريقة.
حتى يتم الوصول إلى المكان الذي ترتيبه (ر) فيمكن شغله بطرق عددها (ق- (ر – 1) ) = (ق – ر + 1).
مثال: إذا بلغ عدد المتقدمين لمسابقة لشغل إحدى الوظائف “10” أشخاص والمتاح “4” درجات في هذه الوظيفة، فما هي عدد طرق التراتيب المختلفة لشغل هذه الدرجات.
إذا تم الرمز لعدد المتقدمين لشغل هذه الوظيفة بالرمز (ق) ولعدد الدرجات المتاحة لها بالرمز(ر):
قلر = ق (ق – 1) (ق – 2) …… (ق – ر + 1).
10ل4 = 10 (10 – 1) (10 – 2) ……..(10 – 4 +1).
= 10 × 9 × 8 × 7 = 5040 طريقة.
عدد التباديل الممكنة:
إذا كان لدينا (ق) من الأشياء وأردنا أخذها كلها في الاختيار يُطلق على ذلك عدد التباديل الممكنة مأخوذة كلها مرة واحدة ويرمز لها بالرمز (قلق).
وبالمقارنة بين المعادلة رقم(1) والمعادلة رقم (2) في الرموز يتم وجود أنه تم استبدال (ر) في المعادلة الأولى بـ (ن) في المعادلة الثانية يتم نفس الشيء بالنسبة للعوامل في الطرف الأيسر في القانون الأول وعليه فإن:
[ ن ل ن = ن (ن – 1) (ن – 2) (ن – 3) ………× 3 × 2 × 1] .
ويطلق عليها مضروب (ن) وتكتب (ل ن) أو ن!
ويلاحظ هنا أن الطرف الأيسر يتكون من عدد من العوامل مضروبة في بعضها تبدأ بالعامل (ن) ثم ينقص كل عامل عن سابقه بمقدار واحد أيضاً وتستمر في ذلك حتى الحد الأخير ويساوي الوحدة.
