التطبيقات التجارية والاقتصادية على تفاضل النهايات العظمى والصغرى

دالة الإيراد الحدي أو منحنى الإيراد الحدي:

الإيراد الحدي هو عبارة عن معدل التخير اللحظي في الإيراد الكلي نتيجة تغير طفيف في الكميات المباعة، ودالة الإيراد الكلي هي دلاة في الكمية، والكمية دالة في السعر.
إن دالة الطلب على سلعة ما تمثلها العلاقة: ص = أ س ^ن + ب
فمثلاً ص = 100 س + 5000
وللحصول على دالة الإيراد الكلي (ي) التي هي دالة في الكمية (ص) فلا بد أن نحدد أولاً السعر (س).
مثال:إذا كانت ص = 3 س ² + 15 س + 4 فإن
ي = (3 س ² + 15 س + 4) × س
=3 س ³ + 15 س ² + 4 س
وتكون دالة الايراد الحدي (يَ)
يَ = 9 س ² + 30 س + 4
ويمكن باستخدام منحنى الإيراد الحدي تحديد كل من:
أولاً: السعر الذي يجعل الإيراد الكلي السنوي أقصىى ما يمكن.
ثانياً: قيمة الإيراد الكلي السنوي.

دالة التكاليف الحدية (أو منحنى التكاليف الحدية):

التكاليف الحدية هي عبارة عن معدل التغير اللحظي في التكاليف الكلية (ت) نتيجة تغير طفيف في الكمية المنتجة (ج) فإذا كانت: ت = ج ^ن فإن:

مثال: إذا كانت دالة التكاليف تمثلها العلاقة الآتية: ت = 8 ج ³ + 2 ج ² + 1000 ج + 4 فأوجد دالة التكاليف الحدية:
الحل : ت َ (دالة التكاليف الحدية = 24 ج ² + 4 ج + 1000

دالة الربح:

إذا رمزنا لدالة الربح بالرمز (ر) ودالة الإيراد الكلي بالرمز (ى) ودالة التكاليف الكلية بارمز (ت) فإن:
دالة الربح = دالة الإيراد الكلي – دالة التكاليف الكلية أي أن:
ر = ي – ت
وللوصول إلى أعلى ربح ممكن، يجب اختيار مستوى الإنتاج بحيث تكون التكلفة الحدية = الإيراد الحدي.
مثال: إذا كانت دالة الإنتاج الكلية لإنتاج عدد (س) من التلفزيزنات المقاس المحدد هي:
ك = س ² + 2000 س ………….(1)
 ي = 6 س ² + 10000س + 300 ……………….(2)
المطلوب: إيجاد عدد التلفزيونات الذي يؤدي إلى أعظم ربح صافي ثم حدد قيمة هذا الربح؟
الحل: يتحقق أكبر ربح ممكن عندما يكون الإيراد الحدي = التكلفة الحدية، ويمكن الحصول على الإيراد الحدي بإيجاد المشتقة الأولى لدالة الإيراد الكلي بالنسبة إلى السعر.
وأيضاً يمكن الحصول على التكلفة الحدية بإيجاد المشتقة الأولى لدالة التكلفة الكلية أي أن:
يَ = 12 س + 10000……………….(1)
كَ = 2 س + 20000………………(2)
إذاً يَ = كَ
12 س + 10000 = 2 س + 20000
12 س – 2س = 20000 -10000
10 س = 10000
ومنها س = 1000 تلفزيون
إذاً عدد التلفزيونات الذي يؤدي إلى أعظم ربح صافي هو 1000 تلفزيون:
وبالتعويض في معادلة الربح التالية عن قيمة س = 1000، فإن:
ر = 2000 س – س ² – 800000
=2000 × 1000 – (1000) ² – 800000
= 2000000 – 1000000 – 800000
= 200000 دينار أردني.