ما هي النهاية؟
النهاية أو النهايات هي مفهوم من المفاهيم الأساسية في علم الرياضيات التي تعمل على وصف كيفية تغير الأشياء.
ما هي قيم المحدد؟
تعتبر قيم أو أرقام الصفر وكافة الأرقام الصحيحة والكسرية، وقد تُعتبر “∞” أرقام محدد أو معرفة.
القيم غير المحددة:
هي أي قيم على الصورة (صفر/ صفر)،(∞ / ∞)، (∞ – ∞)،(صفر × ∞)،(صفر × – ∞) كلها قيم غير محددة أو غير معرفة وسنكتفي في هذا المقال بمعالجة الصورتين الأولى والثانية فقط.
نهاية الدالة عند نقطة:
إذا كانت هناك علاقة دالية على الصورة: ص = د (س).
وأخذ المتغير س قيماً معينة، فيطلق على القيمة النهائية التي تقترب منها ص عندما يقترب المتغير س من قيمة معينة نهاية الدالة ص، فإذا كانت الدالة د (س) عند س = أ مثلاً تأخذ قيمة محددة ولتكن (ب)، فيمكن القول بأن العدد (ب) هو نهاية الدالة د (س) عندما تقترب س من العدد (أ) ويعبر عن ذالك رمزياً كما يلي :
فإذا كان العدد (10) هو نهاية الدالة د (س) عندما تقترب (س) من العدد (5) فنعبر عن ذلك رمزياً كما يلي:
لكن إذا كانت د (س) =
حيث س = 4 فإنة بالتعويض بمكن ايجاد قيمة الدالة السابقة كما يلي:
للسبب السابق لا يتم البحث عن قيمة الدالة عند س= 4 ونكتفي بالقول بأن د (س) غير محددة.
لكننا سنبحث عن القيمة التي تؤول إليها هذه عندما تؤول (س) إلى القيمة (4)، وهذا يعني أننا سنبحث عن قيمة الدالة د (س) عندما تقترب (س) تدريجياً من القيمة (4) حتى تكاد تساويها أو تلتصق بها بمعنى آخر عندما يؤول قيمة الفرق المطلق بين س، 4 في نهاية إلى الصفر أي القيمة المطلقة س – 4 صفر مع ملاحظة أن:
ومما لا شك أن القيم القريبة من (4) إما أن تكون أكبر من 4 وتقترب تدريجاً من (4) مثل (4,1، 4,01، 4,001) وإما أن تكون أصغر من (4) وتقترب تدريجاً من 4 مثل (3,9، 3,99، 3,999) ويمكن إيجاد قيم د (س) المطلوب حسابها وذلك بالتعويض في المعادلة د (س) = س +4 بالقيم المفترضة عالية ونستخلص النتائج المطلوبة من الجدولين التالين:
مما سبق يتضح لنا أن:
د (س) تقترب من قيمة (8) عندما تقترب س من العدد (4) سواء أكان هذا الاقتراب من اليسار أو من اليمين، وبمعنى آخر أنه كلما جعلنا ذلك الفرق بين س، 4 أصغر ما يمكن فإنه في النهاية ستكون د (س) = 8 وتكتب النتيجة السابقة على الصورة:
مع ملاحظة أننا لا نجعل (س) مساوية للقيمة (4)
