النهايات العظمى والصغرى

ما هي النهايات ؟

إن النهاية أو النهايات هي مفهوم من المفاهيم الأساسية في علم الرياضيات التي تعمل على وصف كيفية تغير الأشياء.

الدوال ذات المتغر الواحد:

عندما تكون هناك دالة محددة ولتكن على الصورة: ص = د (س)، حيث (ص) تمثل المتغير التابع، (س) تمثل المتغير المستقل الوحيد الذي يؤثر في الدالة ص.
وقد تأخذ الدالة السابقة أحد الأوضاع التالية خلال فترة معينة:
الوضع الأول: أن تكون الدالة ثابتة.
الوضع الثاني: أن تكون الدالة متزايدة.
الوضع الثالث: أن تكون الدالة متناقضة.
ومما سبق لا شك فيه أن دراسة المشتقة التفاضلية الأولى والمشتقة التفاضلية الثانية سيكون لهما أثر كبير في تفهم سلوك الأوضاع السابق، حيث أن الإشارة لمثل هذه الدوال يكون وفقاً لما يلي:

المشتقة التفاضلية الأولى (صَ):

ماهو المعنى الهندسي للمشتقة الأولى؟ هناك حالتين هما:
الأولى: إذا كانت الدالة خطية على صورة: ص = أ س + ب = مقدار ثابت يمثلها دائماً خط مستقيم.
ثانياً إذا كانت الدالة غير خطية على الصورة: ص أو د (س) = أ س ^ن + ب س + ج وكانت من الرتبة الثانية أو الرتبة الثالثة أو أكبر من ذلك فإنه سيتم تمثيلها بمنحنى.
يمكن التعرف على الصفات المميزة لأي دالة إذا عرفنا ميل المماس للمنحنى الذي يمثل هذه الدالة عند كل نقطة، وبمعنى آخر” المشتقة التفاضلية الأولى للدالة” ومنه أمكننا استنتاج ما يلي:

• إذا كان صَ = صفر عند نقطة المماس فإن ميل مماس للمنحنى = صفر، أي يكون المماس موازياً لمحور السينات، وفي هذه الحالة يكون منحنى الدالة أفقاً، أي تكون الدالة ساكنة غير متزايدة أو غير متناقصة عند النقطة س = ك.
  
• إذا كانت صَ > صفر فإن ميل المماس للمنحى يكون (موجباً) عند نقطة المماس، وفي هذه الحالة يكون منحى الدالة صاعداً أي تكون الدالة متزايدة.
  
• إذا كانت صَ < صفر فإن ميل المماس للمنحنى يكون (سالباً) عند نقطة المماس، وفي هذه الحالة يكون منحنى الدالة هابطاً أي تكون الدالة متناقصة.
  

ما المقصود في النهاية العظمى؟

أن النهاية العظمى هنا المقصود بها النهاية العظمى النسبية وليست المطلقة، وبمعنى آخر فهي أقصى قيمة تصل إليها الدالة بالنسبة للقيم السابقة لها أو اللاحقة بها، وأيضاً المقصود بالنهاية الصغرى على أنها أقل قيمة تصل إليها الدالة خلال فترة معينة بالنسبة للنقط المجاورة لها مباشرة.
قد تكون الدالة متزايدة أو قد تتكون الدالة متناقصة، فنجد أنه عند قمة المنحنى حيث توجد (نقاط النهاية العظمى) يحدث عندها تغير في المنحنى من كونه تصاعدياً على يسارها إلى كونه تنازلياً على يمينها، وأيضاً عند قاع المنحنى (نقاط النهاية الصغرى) يحدث عندها تغير في المنحنى كونه تنازلياً على يسارها إلى كونهه تصاعدياً على يمينها.

المشتقة التفاضلية الثانية:

إن المشتقة التفاضلية الثانية، تعبر عن معدل التغير اللحظي للمشتقة الأولى، فإذا توافر شرط آخر بخلاف الشرط الضروري الأول وهو تحديد المشتقة التفاضلية الأولى، وهو تغير قيمة المشتقة التفاضليى الثانية (صََ) إلى قيمة (سالبة)، وفي هذه الحالة تكون النقطة نهاية العظمى، أما إذا تغيرت (قيمة صَََ) إلى قيمة موجبة تكون النقطة نهاية صغرى.
والخلاصة من كل ما تقدم لتحديد هل النقطة نهاية عظمى أو نهاية صغرى؟

• الشرط اللازم إذا كانت (صَ) = صفر عند نقطة ما فإنه عند هذه النقطة قد تكون نهاية عظمى أو نهاية صغرى وبمعنى آخر أن الشرط الضروري اللزم لكي تكون النقطة نهاية عظمى أو نهاية صغرى هو أنه يجب أن تكون المشتقة التفاضلية الأولى = صفر.
  
• الشرط الكافي أنه إذا كانت (صََ) < صفر فتكون النقطة نهاية عظمى.
  
• الشرط الكافي أنه إذا كانت (صََ) > صفر فتكون النقطة نهاية صغرى.
  

نقط الانقلاب:

أنه بتحديد المشتقة التفاضلية الثانية (صََ) لدالةٍ ما على صورة ص = د (س) عند النقطة س، حيث كانت مشتقتها التفاضلية (صَ) = صفر فإنه إذا كانت (صََ) < صفر، فإن النقطة س تكون عندها نهاية عظمى للدالة، ولكن إذا كانت (صََ) > صفر، فتكون نهاية صغرى.
لكن إذا كانت (صََ) = صفر، فإن النقطة (س) يكون عندها نقطة انقلاب للدالة ص.
مثال: ما إحداثيات نقطة الانقلاب لمنحنى الدالة: ص = س ³ – 3 س ² +10  
الحل:
صَ = 3 س ²– 6 س
صََ = 6 س – س
إذاً 6 س – 6 = صفر ومنها س = 1
وبالتعويض في الدالة الأصلية عند س = 1
إذاً ص = (1)  ³ – 3 (1)² +10  
= 1 – 3 + 10 = 8
إذاً إحداثي نقطة الانقلاب هي (1، 8).