تأثير هول الكمي - Quantum Hall Effect

قصة تأثير هول الكمي:

تبدأ قصة تأثير “هول” بخطأ ارتكبه “جيمس كليرك ماكسويل“. في الطبعة الأولى من أطروحة حول الكهرباء والمغناطيسية، التي ظهرت في عام 1873م، ناقش “ماكسويل” انحراف التيار بواسطة مجال مغناطيسي. ثم قال:

“يجب أن نتذكر أنّ القوة الميكانيكية التي تحث الموصل لا تؤثر على التيار الكهربائي، بل على الموصل الذي يحمله”.

بدأ “هول” بداية جديدة وصمم تجربة مختلفة تهدف إلى قياس المقاومة المغناطيسية بدلاً من ذلك، أي تغير المقاومة الكهربائية بسبب المجال المغناطيسي. كما نعلم الآن، هذه تجربة أصعب بكثير، وقد فشلت أيضاً. ثم قرر “هول” تكرار تجربة “رولاند”. بناءً على اقتراح معلمه، استبدل “هول” شريط التوصيل المعدني الأصلي بورقة ذهبية رفيعة، للتعويض عن ضعف المجال المغناطيسي المتاح.

بداية اكتشاف تأثير هول الكمي:

يظهر الرسم التخطيطي لإعداد هول لفحص ما يُعرف الآن “بتأثير هول”: وجد أنّ المجال المغناطيسي على الرغم من ماكسويل قال غير ذلك، غيّر بشكل دائم توزيع الشحنة، وبالتالي عطل الجلفانومتر المتصل بالحواف الجانبية من الموصل. يسمى فرق الجهد المستعرض بين الحواف “بجهد هول”. إنّ موصلية (Hall) هي في الأساس التيار الطولي مقسوماً على هذا الجهد العرضي. اكتشف “هول” أنّ المجال المغناطيسي الثابت يغير بشكل طفيف توزيع التيارات في معظم الموصلات.

اتضح أنّ حجم وحتى علامة “جهد هول” يعتمد على الخصائص المادية للموصل، “ورقة الذهب في تجربة هول”. هذا جعل تأثير “هول” أداة تشخيصية مهمة لفحص حاملات التيار الكهربائي. في النهاية، أشارت إلى مفهوم الثقوب الموجبة الشحنة كحاملات للتيار في المواد الصلبة. لذا، حتى عندما كان “ماكسويل” مخطئاً، ألهم بحثاً مثمراً.

تأثير هول الكمي:

بعد قرن من الزمان، تم إحياء “تأثير هول” كمصدر لفيزياء جديدة مذهلة. في عام 1980م في مختبر المجال المغناطيسي العالي في غرونوبل في فرنسا، كان “كلاوس فون كليتسينغ” يدرس توصيل “هول” لغاز إلكترون ثنائي الأبعاد في درجات حرارة منخفضة للغاية. اكتشف، أنّ موصلية “هول”، كدالة لقوة المجال المغناطيسي المطبق بشكل طبيعي على مستوى الغاز، تظهر تسلسل سلم من الهضاب العريضة. بدقة غير متوقعة على الإطلاق، كانت القيم المتتالية “لموصلية هول” عبارة عن مضاعفات صحيحة لثابت أساسي في الطبيعة:

e²/ h= 1 / ( 25  812.807  572  Ω )

يمكن أيضاً اعتبار تأثير “هول” الكمومي قياساً دقيقاً وجذاباً لثابت البنية الدقيقة، (e²/hc)، مما ينتج عنه قيمة (1 / 137.03600300) (270). إنّ البديل لقياس العزم المغناطيسي الشاذ للإلكترون يعطي ثابت البنية الدقيقة بدقة أكبر إلى حد ما. لكن هذا المسار تطلب جهداً حسابياً ضخماً “أكثر من ألف رسم تخطيطي لـ Feynman” حارب مع فرص ارتكاب أخطاء صغيرة.

مبرهنة لافلين – Laughlin’s argument:

طرح “روبرت لافلين” مبرهنة لشرح اكتشاف “فون كليتزينج”. لعبت هذه المبرهنة دوراً رئيسياً في تطوير نظرية ما أصبح يسمى “تأثير هول الكمي الصحيح” (integer quantum Hall effect). وتقطع مبرهنته كثيراً في الطريق نحو شرح الدقة غير المتوقعة المرتفعات المتكاملة (integral plateaus).

شرح مبرهنة لافلين:

اعتبر “لافلين” أنّ غاز الإلكترون ثنائي الأبعاد بارد بدرجة كافية بحيث يستمر التماسك الكمي طوال الوقت. نظر “لافلين” إلى تأثير هول كمضخة كمية. تخيل غاز الإلكترون محصوراً في شريط معقد، مع مجال مغناطيسي قوي عادي على سطحه. ترتبط الحافتان المعاكستان للشريط بخزانات إلكترونية منفصلة.

ثم قدم لافلين تدفقاً مغناطيسياً وهمياً (Φ) عن طريق ربط حلقة. يؤدي التغيير في هذا التدفق إلى دفع المضخة، تؤدي زيادة التدفق إلى إنشاء قوة دافعة كهربائية (emf) حول الحلقة، والتي تؤدي من خلال تأثير (Hall) الكلاسيكي، إلى نقل الشحنة من خزان إلى آخر. يُظهر الحساب السهل أنّ الشحنة المنقولة بين الخزانات في دورة مضخة واحدة، بوحدات شحنة الإلكترون (e)، هي “موصلية هول” للنظام بوحدات (e²/h)، وهو مقدار “توصيل هول”.

لذلك، إذا تمكنا من فهم التكمية الدقيقة للشحنة المنقولة في دورة واحدة لمضخة “لافلين”، فسوف نفهم تأثير هول الكمي الصحيح.

يتطلب ثبات المقياس بعد دورة، أن تعود المضخة إلى حالتها الأصلية. ألا يضمن ذلك أن تكون الشحنة المنقولة في الدورات المختلفة هي نفسها؟ الجواب لا، فقط في الميكانيكا الكلاسيكية، يتم إعادة إنتاج ضمان الحالة السابقة للنتيجة المقاسة مسبقاً. في ميكانيكا الكم، لا يؤدي إعادة إنتاج حالة النظام بالضرورة إلى إعادة إنتاج نتيجة القياس. لذلك لا يمكن للمرء أن يستنتج من قياس الثبات وحده أنّ نفس عدد الإلكترونات ينتقل في كل دورة للمضخة.

التعامل مع موصلية هول كانحناء – Hall conductance as curvature:

يمكن اعتبار موصلية هول بمثابة انحناء. لمعرفة السبب، نحدد ثابتين للزاويتين اللتين يعتمد عليهما تأثير (Hall-effect Hamiltonian). واحد منهم (Φ)، يرتبط بـ (emf) الذي يقود تيار هول، والثابت الثاني للزاوية (θ)، يرتبط بالأميتر الذي يقيس تيار هول. بشكل أكثر دقة، (θ) يتم اختيارها بطريقة ليأخذ تيار هول الشكل التالي:

I = c ∂_θ H (Φ,θ)

يمكن للمرء أن يعامل كل من (Φ) و(θ) كثوابت زاويّة، لأنّه من خلال قياس الثوابت، فإنّ “هاميلتونيان” دوري في كليهما، مع فترة (Φ₀). إذا (Φ) تغيرت ببطء وكانت طاقة الحالة الأرضية مستقلة عن (Φ) وأقل بدقة من الحالة المثارة الأولى، فإنّ معادلة “شرودنغر” تعطي:

⟨ψ|I|ψ⟩ = ħcKΦ

للقيمة المتوقعة لتيار هول، حيث (K) هو الانحناء الثابت للحرارة المعطاة بواسطة المعادلة، تعطي المعادلة علاقة خطية بين القيمة المتوقعة لتيار هول و(emf) القوة الدافعة الكهربائية، (Φ/c) تم إنشاؤها بواسطة أنبوب التدفق المتغير بمرور الوقت والذي يربط الحلقة. وبالتالي فإنّ موصلية هول هي:

ħc ² K

تؤسس هذه العلاقة التفسير الهندسي لموصلية هول على أنّها انحناء.