ضرب المصفوفات

ضرب مصفوفة في مقدار ثابت (ك):

يمكن ضرب مصفوفة ما في مقدار ثابت (ك)، وهذا يعني ضرب هذا المقدار الثابت (ك) في جميع عناصر هذه المصفوفة والناتج سيكون مصفوفة جديدة من نفس رتبة المصفوفة الأصلية.
ما حاصل ضرب (ك) × (أ _{(ص ع )} )
حيث ك = 5 ، (أ _{(ص ع )} ) = أ _{( 2 × 3 )}

ضرب المصفوفات:

يشترط لضرب مصفوفتين، ولتكن (أ)، والمصفوفة (ب) أن يكون عدد أعمدة المصفوفة (أ) الأولى (في الترتيب بعد عملية الضرب)، مساوياً لعدد صفوف المصفوفة (ب) الثانية (في الترتيب بعد عملية الضرب) والمصفوفة الناتجة يكون عدد صفوفها مساوياً لعدد صفوف الأولى وعدد أعمدتها مساوياً لعدد أعمدة الثانية.

فتنطبق قاعدة الضرب لنفس الشرط الازم وهو أن:
عدد أعمدة الأولى = 2 وعدد صفوفة الثانية = 2 أيضاً.
(وهذا الشرط ضروري في المصفوفات غير المربعة، لكن في المصفوفات المربعة من رتبة واحدة فالشرط متوافر بالتبعبية) وتكن المصفوفة الجديدة الناتجة من حاصل الضرب من رتبة محددة عبارة عن عدد الصفوف المصفوفة الأولى في ترتيب الضرب أي (3) وعدد أعمدة المصفوفة الثانية في الترتيب الضرب أي (3) أي أن حاصل ضرب مصفوفة حـ _(3×3).

فلا تنطبق قاعدة الضرب لعدم توافر الشرط الازم وبالتالي لا يمكن إيجاد حاصل الضرب لهاتين المصفوفتين.
أما عن كيفية إحداث عملية الضرب لمصفوفتين توافر فيها الشرط اللازم فتكون كالاتي:

• الصف الأول في المصفوفة الجديدة ( حـ _(3×3)):
  العنصر الأول (حـ ₁₁) = عناصر الصف الأول في المصفوفة (أ) × عناصر العمود الأول في المصفوفة (ب)، كل عنص في العنصر المناظر له في الترتيب.
  = أ₁₁ × ب₁₁ + أ ₂₁ × ب₁₂
  العنصر الثاني ( حـ ₂₁ ) = عناصر الصف الأول في المصفوفة (أ) × عناصر العمود الثاني في المصفوفة (ب) كل عنصر في العنصر المناظر له في الترتيب.
  = أ ₁₁ × ب ₂₁ + أ   ₂₁ × ب  ₂₂
  العنصر الثالث (حـ ₃₁ ) = عناصر الصف الأول في المصفوفة (أ) × عناصر العمود الثالث في المصفوفة (ب) كل عنصر في العنصر المناظر له في الترتيب.
  = أ ₁₁ × ب ₃₁ + أ ₂₁ × ب ₃₂
  
• الصف الثاني في المصفوفة الجديدة ( حـ _(3×3)):
  العنصر الأول (حـ ₁₂) = عناصر الصف الثاني في المصفوفة (أ) × عناصر العمود الأول في المصفوفة (ب)، كل عنص في العنصر المناظر له في الترتيب.
  أ₁₂ × ب₁₁ + أ ₂₂ × ب₁₂
  العنصر الثاني ( حـ ₂₂ ) = عناصر الصف الثاني في المصفوفة (أ) × عناصر العمودد الثاني في المصفوفة (ب) كل عنصر في العنصر المناظر له في الترتيب.
  = أ ₁₂ × ب ₂₁ + أ ₂₂ × ب₂₂
  العنصر الثالث (حـ ₃₂ ) = عناصر الصف الثاني في المصفوفة (أ) × عناصر العمود الثالث في المصفوفة (ب) كل عنصر في العنصر المناظر له في الترتيب.
  = أ ₁₂ × ب ₃₁ + أ₂₂ × ب₃₂
  
• الصف الثالث في المصفوفة الجديدة ( حـ _(3×3)):
  العنصر الأول (حـ ₁₃) = عناصر الصف الثالث في المصفوفة (أ) × عناصر العمود الأول في المصفوفة (ب)، كل عنصر في العنصر المناظر له في الترتيب.
  أ ₁₃ × ب ₁₁ + أ ₂₃ × ب₁₂
  العنصر الثاني (حـ ₂₃) = عناصر الصف الثالث في المصفوفة (أ) × عناصر العمود الأول في المصفوفة (ب)، كل عنصر في العنصر المناظر له في الترتيب.
  أ ₁₃ × ب ₂₁ + أ   ₂₃ × ب  ₂₂
  العنصر الثالث (حـ ₃₃) = عناصر الصف الثالث في المصفوفة (أ) × عناصر العمود الأول في المصفوفة (ب)، كل عنصر في العنصر المناظر له في الترتيب.
  أ ₁₃ × ب ₃₁ + أ   ₂₃ × ب  ₃₂
  مثال على ذلك:
  ما حاصل ضرب المصفوفتين أ × ب على الترتيب حيث أن:
  

الحل:
حيث أن عدد أعمدة (أ) = 2 ، وعدد صفوف (ب) = 2
فقاعدة الضرب تنطبق عليهما والناتج يكون المصفوفة حـ من الرتبة (3×3) أي حـ _{(3× 3)}.

ضرب المصفوفات لا يخضع لقانون التبديل كما هو الحال في الجبر العادي باستثناء مصفوفة الوحدة، كما أن قانون الترتيب ينطبق على ضرب المصفوفات كما هو الحال في العمليات الحسابية والجبرية العادية، وايضاً قانون التوزيع ينطبق على المصفوفات كما هو الحال في العمليات الحسابية والجبرية العادية.