طريقة التثليث والمعروفة أيضًا باسم طريقة الحذف أو طريقة المعاملات، هي نهج شائع لحل أنظمة المعادلات الخطية. إنه ينطوي على القضاء على المتغيرات بشكل منهجي عن طريق إجراء عمليات على المعادلات حتى يتم الحصول على حل فريد.
طرق المعاملات في حل النظم الخطية
تتمثل الخطوة الأولى في طريقة التثليث في ترتيب نظام المعادلات في شكل مصفوفة ، تُعرف باسم المصفوفة المعززة. تتكون هذه المصفوفة من معاملات المتغيرات والحدود الثابتة على الجانب الأيمن. بمجرد تكوين المصفوفة المعززة، يكون الهدف هو تحويلها إلى شكل مثلث علوي من خلال تطبيق سلسلة من عمليات الصف الأولية.
تتضمن عمليات الصف الأولي ضرب صف في عدد غير صفري، إضافة أو طرح صفوف وتبديل الصفوف. من خلال إجراء هذه العمليات ، يتم حذف المعاملات الموجودة أسفل القطر الرئيسي للمصفوفة بشكل منهجي. تستمر هذه العملية حتى تصبح المصفوفة في شكل مثلث علوي.
بمجرد أن تكون المصفوفة في شكل مثلث علوي ، يمكن الحصول على الحل عن طريق الاستبدال الخلفي. بدءًا من المعادلة الأخيرة ، يتم تحديد قيمة المتغير الأخير ثم استبدالها في المعادلات السابقة لحل المتغيرات المتبقية. تتكرر هذه العملية حتى يتم العثور على جميع المتغيرات.
تعتبر طريقة التثليث فعالة في حل الأنظمة الخطية لأنها تقلل المشكلة إلى سلسلة من المعادلات الأبسط. ومع ذلك ، لديها بعض القيود. قد تفشل الطريقة إذا كانت إحدى المعادلات عبارة عن مجموعة خطية من المعادلات الأخرى ، مما يؤدي إلى عدد لا نهائي من الحلول أو عدم وجود حلول على الإطلاق. كما أنه حساس لأخطاء التقريب ، والتي يمكن أن تؤثر على دقة الحل المحسوب.
على الرغم من هذه القيود تظل طريقة التثليث أداة قوية لحل الأنظمة الخطية. إنه يشكل الأساس لتقنيات أكثر تقدمًا مثل إزالة Gaussian وتحلل LU. تعتمد هذه الطرق على مبادئ التثليث لحل أنظمة المعادلات الخطية الأكبر والأكثر تعقيدًا بكفاءة.
