طريقة أويلر في حل المعادلات التفاضلية

طريقة أويلر: هي طريقة عددية لحل المعادلات التفاضلية، وهي أبسط طريقة عددية، ولكن هذه الطريقة لها قيود إذ تحتاج إلى الحذر.

ما هي طريقة اويلر في حل المعادلات التفاضلية

يمكن أن تعطى هذه العلاقة في كثير من الأحيان إجابات مع أخطاء عالية، ولكنها تحتوي على الفكرة الأساسية المشتركة بين جميع الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية، وهي طريقة لحل المعادلات التفاضلية العادية بقيمة أولية معينة، تستخدم طريقة أويلر الصيغة البسيطة التالية:

y (x+ h) = y (x) + h f(x,y)

لبناء المماس عند النقطة x والحصول على قيمة y (x + h)، التي يكون ميلها، f (x,y) أو (dy/dx)، في طريقة أويلر، يمكنك تقريب منحنى الحل بواسطة الظل في كل فترة، بخطوات (h)، بشكل عام إذا كنت تستخدم حجم خطوة صغير، فقد تزداد دقة التقريب.

y(i+1) =y(xi)+h f(xi,yi)

القيمة الإقتران عند أي نقطة (b)، تعطى بواسطة y (b).

n = b – Xo / h

حيث:

n = عدد الخطوات.

h = عرض الفاصل الزمني (حجم كل خطوة).

الخطأ في طريقة أويلر

هنالك مصدرين للخطأ في تطبيق طريقة عددية لحل مشكلة قيمة الأولية:

• تستند الصيغ التي تحدد الطريقة إلى نوع من التقريب، إذ إن هذه الطريقة تنتج عنها أخطاء عن عدم دقة التقريب.

• تقوم أجهزة الكمبيوتر بالحساب بعدد ثابت من الأرقام، وبالتالي ترتكب أخطاء في تقييم الصيغ التي تحدد الطرق العددية، كما أن هنالك أخطاء ناتجة عن عدم قدرة الكمبيوتر على إجراء العمليات الحسابية الدقيقة فتنج أخطاء التقريب.

مثال: استخدم طريقة أويلر لحل المعادلة التفاضلية y′+2y=x³e^−2x، إذا كانت  h = 0.1, y (0) =1 ، عند x = 0.1, 0.2, 0.3.

الحل:

y′+2y=x³e^−2x

y(0)=1 ، x = 0, y= 0

y1=y0+h f (x0, y0)

=1+(0.1) f (0,1) =1+(0.1) (−2) =0.8,

y2=y1+h f (x1, y1)

=0.8+(0.1) f (0.1,0.8)

=0.8+(0.1) (−2(0.8) +(0.1) ³× e^−0.2)

=0.640081873,

y3=y2+h f (x2, y2)

=0.640081873+(0.1) (−2(0.640081873) +(0.2) ³ ×e^−0.4) =0.512601754.