الجبر الخطي: هو أحد الفروع المهمة للرياضيات، الجبر الخطي هو في الأساس دراسة المتجهات والإقترانات الخطية، والخطوط والمستويات وبعض التعيينات المطلوبة لإجراء التحويلات الخطية، ويشمل المتجهات والمصفوفات والوظائف الخطية، إذ إنها دراسة مجموعات خطية من المعادلات وخصائص تحويلها.
الجبر الخطي
يعتبر مفهوم أساسي لمعظم مجالات الرياضيات، ويعتبر الجبر الخطي مفهوما أساسياً في الهندسة والفيزياء، إذ يساعد على تحديد الأجسام الأساسية مثل الطائرات والخطوط ودوران الأجسام، إذ يساعد الجبر الخطي على نمذجة العديد من الظواهر الطبيعية.
ويتم تمثيل الصيغة العامة للمعادلة الخطية على النحو التالي:
a1x1 + a2x2……….+anxn = b
بحيث:
a’s – يمثل المعاملات.
x’s – يمثل المجهول.
b – يمثل الثابت.
يوجد نظام من المعادلات الجبرية الخطية، وهو مجموعة المعادلات، يمكن حل نظام المعادلات باستخدام المصفوفات.
مواضيع الجبر الخطي
تشمل أهم الموضوعات التي يغطيها الجبر الخطي ما يلي:
- مساحات المتجهات الإقليدية.
- القيم الذاتية والمتجهات الذاتية.
- المصفوفات المتعامدة.
- التحولات الخطية.
- الإسقاطات.
- حل أنظمة المعادلات بالمصفوفات.
- العمليات الرياضية مع المصفوفات (أي الجمع والضرب).
- معكوس المصفوفة والمحددات.
- مصفوفات إيجابية محددة.
- تحلل القيمة المفردة.
الإقترانات الخطية
الإقتران الخطي: هي معادلة جبرية يكون فيها كل حد إما ثابتاً أو حاصل ضرب ثابت ومتغير مستقل مرفوعاً للقوة (1) ، في الجبر الخطي، تؤخذ المتجهات أثناء تكوين الإقترانات الخطية، بحيث أن المفاهيم الأساسية الثلاثة في الجبر الخطي هي المتجهات والإقترانات الخطية والمصفوفات.
هذه المفاهيم الثلاثة مترابطة بحيث يمكن تمثيل نظام من المعادلات الخطية باستخدام هذه المفاهيم، بشكل عام المتجهات هي عناصر يمكننا إضافتها، والإقترنات الخطية هي وظائف المتجهات التي تتضمن إضافة المتجهات.
تطبيقات على الجبر الخطي
- الترتيب في محركات البحث، أحد أهم تطبيقات الجبر الخطي هو إنشاء خوارزمية الترتيب الأكثر تعقيدا بمساعدة الجبر الخطي من (Google).
- تحليل الإشارات، يستخدم على نطاق واسع في تشفير وتحليل ومعالجة الإشارات التي يمكن أن تكون إما صوتاً أو فيديو أو صوراً وما إلى ذلك.
- في مجال البرمجة الخطية، وهو تطبيق مهم للجبر الخطي.
