العلومالرياضيات

معادلة الدائرة

تمت تحريره بواسطة: - اخر تحديث : ١٥:٥٩:٣٨ ، ١١ نوفمبر ٢٠٢١ - مشاهدات : ٤٩٣

اقرأ في هذا المقال

معادلة الدائرة: هي العلاقة التي تربط بين الإحداثي \large x والإحداثي \large y لكل نقطة واقعة على الدائرة. فإذا عوّضنا إحداثيا نقطة في المعادلة، وكانت النتيجة عبارة صحيحة، فهذا يعني أن تلك النقطة تقع على الدائرة.

الصورة القياسية لمعادلة الدائرة

الصورة القياسية لمعادلة الدائرة التي مركزها النقطة \large \left ( a,b ight ) ، وطول نصف قطرها \large r هي: \large \left ( x-a ight )^{2}+\left ( y-b ight )^{2}=r^{2}معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل \large \left ( 0,0 ight ) وطول نصف قطرها \large r هي: \large x^{2}+y^{2}=r^{2}

مثال: إيجاد معادلة الدائرة في كل من الحالات التالية:

أولاً: المركز هو النقطة \large \left ( -2,7 ight ) وطول نصف القطر \large 6 وحدات، نكتب الصيغة القياسية لمعادلة الدائرة:  \large \left ( x-a ight )^{2}+\left ( y-b ight )^{2}=r^{2} نعوض المركز وهو النقطة\large \left ( -2,7 ight ) ونصف القطر \large r=6

\large \left ( x-(-2) ight )^{2}+\left ( y-7 ight )^{2}=6^{2}

\large \left ( x+2 ight )^{2}+\left ( y-7 ight )^{2}=36

ثانياً: المركز هو نقطة الأصل \large \left ( 0,0 ight ) وطول نصف القطر \large 5 وحدات، نكتب معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل \large \left ( 0,0 ight ) وطول نصف قطرها \large r هي: \large x^{2}+y^{2}=r^{2} ، وبتعويض \large r=5 ينتج

\large x^{2}+y^{2}=5^{2}\Rightarrow x^{2}+y^{2}=25

إذا علم مركز دائرة ونقطة واقعة عليها، فإنه يمكن إيجاد طول نصف القطر باستعمال قانون المسافة بين نقطتين، ثم كتابة معادلة الدائرة. تذكر: قانون المساقة بين نقطتين: إذا كان طول القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين \large A\left ( x_{1},y_{1} ight ) وَ \large B\left (x_{2},y_{2} ight ) هو \large d فإن:

\large d^{2}=\left (x_{2}-x_{1} ight )^{2}+\left ( y_{2}-y_{1} ight )^{2}

مثال: إيجاد معادلة الدائرة التي مركزها النقطة \large \left ( -7,13 ight ) وتمر بالنقطة \large \left (5,4 ight )

الحل: أولاً: نجد طول نصف القطر باستعمال قانون المسافة بين نقطتين \large d^{2}=\left (x_{2}-x_{1} ight )^{2}+\left ( y_{2}-y_{1} ight )^{2}\large r^{2}=\left ( 5-(-7) ight )^{2}+\left ( 4-13 ight )^{2}

\large 144+81=225إذن، \large r^{2}=225\Rightarrow r=\sqrt{225}\Rightarrow r=15

ثانياً: نعوض إحداثيي المركز ونصف القطر في الصورة القياسية لمعادلة الدائرة، ينتج أن معادلة هذه الدائرة:\large \left ( x+7 ight )^{2}+\left ( y-13 ight )^{2}=225

الصورة العامة لمعادلة الدائرة

إذا كان لدينا معادلة دائرة بالصورة القياسية \large \left ( x-a ight )^{2}+\left ( y-b ight )^{2}=r^{2}  فإنه يمكن فك الأقواس وإعادة ترتيبها، فينتج لدينا المعادلة:

\large x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-r^{2}=0

ويمكن أيضاً كتابة هذه المعادلة بالصورة التالية: \large x^{2}+y^{2}+2fx+2gy+c=0 حيث: \large f=-a ، \large g=-b ، \large c=a^{2}+b^{2}-r^{2} إذا علمنا الصورة العامة لمعادلة أي دائرة، فإنه يمكن تحويلها إلى الصورة القياسية \large \left ( x-a ight )^{2}+\left ( y-b ight )^{2}=r^{2}، وذلك بإكمال مربع.

مثال: إيجاد إحداثيات المركز وطول نصف القطر للدائرة:  \large x^{2}+y^{2}-8x+6y-56=0

الحل: أولاً: نقوم بتجميع الحدود التي تحتوي\large x والحدود التي تحتوي \large y كالتالي:  \large x^{2}-8x+y^{2}+6y-56=0

ثانياً: نقوم بإضافة نصف معامل \large xللحدود التي تحتوي \large x والطرف الأيمن من المعادلة ونصف معامل \large y للحدود التي تحتوي \large y والطرف الأيمن من المعادلة كالتالي: \large \left (x^{2}-8x+16 ight )+\left (y^{2}+6y+9 ight )-56=0+16+9

ثالثاً: نقوم بتحليل المعادلتين التربيعيتين: \large \left ( x-4 ight )^{2}+\left ( x+3 ight )^{2}-56=16+9

رابعاً: نقوم بتجميع الحدود الثابتة في الطرف الأيمن وجمعها كالتالي: \large \left ( x-4 ight )^{2}+\left ( x+3 ight )^{2}=81

بمقارنة هذه المعادلة بالصورة القياسية \large \left ( x-a ight )^{2}+\left ( y-b ight )^{2}=r^{2} ينتج أن: مركز الدائرة \large \left ( 4,-3 ight ) ونصف قطرها \large r^{2}=81\Rightarrow r=\sqrt{81}=9

مثال: \large x^{2}+y^{2}+8x=9

الحل: أولاً: نقوم بتجميع الحدود التي تحتوي \large x والحدود التي تحتوي \large y كالتالي: \large x^{2}+8x+y^{2}=9

ثانياً: نقوم بإضافة نصف معامل \large xللحدود التي تحتوي \large x والطرف الأيمن من المعادلة ونصف معامل \large y للحدود التي تحتوي \large y والطرف الأيمن من المعادلة كالتالي: \large x^{2}+8x+16+y^{2}=9+16 في هذا المثال لا يوجد حد يحتوي \large y غير \large y^{2} يعني أن الحد \large 2gy=0

ثالثاً: نقوم بتحليل المعادلتين التربيعيتين:\large \left ( x+4 ight )^{2}+y^{2}=9+16

رابعاً: نقوم بجمع الحدود الثابتة في الطرف الأيمن ينتج لدينا: \large \left ( x+4 ight )^{2}+y^{2}=25

بمقارنة هذه المعادلة بالصورة القياسية \large \left ( x-a ight )^{2}+\left ( y-b ight )^{2}=r^{2} ينتج أن: مركز الدائرة \large \left ( -4,0 ight ) ونصف قطرها \large r^{2}=25\Rightarrow r=\sqrt{25}=5

المصدر: كتاب " الوافي للرياضيات" للمؤلف "أحمد حماد شعبان سعد"كتاب "نظرية الببغاء" للمؤلف "دنيس جيدج" كتاب "الرياضيات للفضوليين" للمؤلف "بيتر إم هيجنز"كتاب "الرياضيات للمليون" للمؤلف "لانسوت هوجين"

شارك المقالة:

وسوم: الصورة العامة لمعادلة الدائرةالصورة القياسية لمعادلة الدائرةالمسافة بين نقطتينمركز الدائرةمعادلة الدائرةنصف قطر الدائرة

مقالات مختارة

هل تعلم

أكثر المقالات مشاهدةً