مفكوك مقدار ذو حدين

مفهوم نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب:

المقادير الجبرية (أ + ب)، (س + 1)، (5 س + 2 ص) كل منها يتكون من حدين هما (أ ، ب) (س ، 1)، (5 س، 2 ص) على الترتيب ويطلق على كل مقدار جبري من المقادير الثلاثة السابقة مجموع حدين.
بينما المقادير الجبرية (أ – ب)، (س – 1)، (5 س – 2 ص) يطلق على كل منها الفرق بين حدين.

مفكوك مقدار ذو حدين بأس صحيح موجب:

تم الوصول إلى مفكوك مقدار ذو حدين مرفوع للقوة الثانية وذلك قبل الميلاد في حين تم الوصول لمفكوك مقدار ذو الحدين مرفوعاً للقوة الرابعة أو الخامسة أو السادسة في القرن الثاني عشر بعد الميلاد.
وفي القرن السابع عشر توصل باسكال لمفكوك مقدار ذو حدين مرفوع للقوة (ن) حيث (ن) عدد صحيح موجب، وفي نفس القرن توصل نيوتن إلى برهان جديد لمفكوك مقدار ذو حدين مرفوع للقوة (ن) حيث (ن) عدد صحيح موجب أو سالب أو كسري.
باستخدام المبادئ العامة في الجبر نجد أن:
(س + ص) ^صفر = 1.
عدد حدود المفكوك = 1.
(س + ص) ¹ = س + ص، عدد الحدود في المفكوك = 2.
(س + ص) ² = (س + ص) (س + ص).
= س ² + 2 س ص + ص ²، عدد الحدود في المفكوك = 3.
(س + ص) ³ = (س + ص) (س + ص) ²
= (س +ص) (س ² + 2 س ص + ص ²) ، عدد الحدود في المفكوك = 4.
(س + ص) ⁴ = (س + ص) (س + ص) ³
= (س + ص) (س ³ + 3 س ² ص + 3 س ص ² + ص ³)
= س ⁴ + 4 س ³ ص + 6 س ² ص ² + 4 س ص ³ + ص ⁴ ، عدد حدود في المفكوك = 5.
ويمكن أن يتم استنتاج مايلي:

• أن المفكوك لأي مقدار ذو حدين مرفوع لأي أس صحيح موجب يمكن الحصول عليه بضرب الحدود، ويشمل على عدد من الحدود يزيد واحد عن الأس المرفوع له المقدار ذو الحدين، فإذا كان الأس = 2 فإن عدد الحدود = (2 + 1) ….. وهكذا، وعلى ذلك إذا كان الأس هو (ن) فإن عدد الحدود في المفكوك يكون (ن + 1).
  
• بملاحظة التشابه في مفكوك المقادير ذات الحدين عالية، لأي أس موجب.
  

استطاع نيوتن الوصول لمنطوق نظرية ذات الحدين – مفكوك ذات الحدين – لأي أس صحيح موجب وليكن (ن).
وتمت الملاحظة على قانون نيوتن نظرية ذات الحدين ما يلي: أن كل حد من حدود المفكوك يتكون من ثلاث عناصر هي:
معاملات كل حد وهي عبارة عن عدد توافيق أو مرات اختيار (ر) من (ن) من الأشياء حيث ر = 0، 1، 2، 3، …….، ن وهي على الترتيب.
ومنها نستنتج أن:
^ن ق ₀  = ^ن ق _ن
^ن ق ₁ = ^ن ق _{ن -1}  
^ن ق ₂ = ^ن ق _{ن – 2}