الوقت الخطي الثابت - Linear Time Invariant

بالنسبة لأنظمة المجال الزمني، يُعد الثبات الزمني خاصية مفيدة إذا كانت خيالية أمّا بالنسبة للأنظمة المعقدة أو الحقيقية، تعتبر الخطية خاصية مفيدة وبالنسبة لأنظمة النطاق الزمني المعقدة أو الحقيقية، فإنّ الجمع بين هذه الخصائص مفيدة وتبين أنّ أنظمة الزمن الثابت الخطي (LTI) بسيطة بشكل خاص مع المدخلات الجيبية، بالنظر إلى شكل الجيب عند الإدخال سيكون ناتج نظام (LTI) جيبياً بنفس التردد على الرغم من احتمال وجود طور وسعة مختلفين.

ما هي الأنظمة الخطية الثابته للوقت؟

الأنظمة الخطية الثابتة للوقت (LTI): هي فئة من الأنظمة المستخدمة في الإشارات والأنظمة الخطية والثابتة على حد سواء، والأنظمة الخطية هي الأنظمة التي تكون مخرجاتها لمجموعة خطية من المدخلات هي نفسها كمجموعة خطية من الاستجابات الفردية لتلك المدخلات، كما تتفوق أنظمة (LTI) على أجهزة الحالة البسيطة للتمثيل نظراً لأنّ لديها ذاكرة أكبر.

أمّا الأنظمة غير المتغيرة للوقت: هي أنظمة لا يعتمد فيها الإخراج على وقت تطبيق الإدخال، وهذه الخصائص تجعل من السهل تمثيل وفهم أنظمة (LTI) بيانياً، والأنظمة غير المتغيرة للوقت هي أنظمة لا يتغير فيها ناتج إدخال معين اعتماداً على وقت تطبيق هذا الإدخال بحيث أنّ الأنظمة غير المتغيرة للوقت التي تأخذ الإشارة (x(t وتنتج المخرجات (y(t وتنتج أيضاً عند الإثارة بالإشارة ((x(t + σ) ناتج التحول الزمني ((y (t + σ).

كما تمتلك أنظمة (LTI) على عكس آلات ذاكرة للحالات السابقة ولديها القدرة على التنبؤ بالمستقبل، وتُستخدم أنظمة (LTI) للتنبؤ بالسلوك طويل المدى في النظام لذلك غالباً ما يتم استخدامها لنمذجة أنظمة مثل محطات الطاقة، وتطبيق مهم آخر لأنظمة (LTI) هو الدوائر الكهربائية، وهذه الدوائر المكونة من المحاثات والترانزستورات والمقاومات هي الأساس الذي تبنى عليه التكنولوجيا الحديثة.

خصائص أنظمة LTI:

• تمتلك الأنظمة الخطية خاصية أنّ الناتج يرتبط خطياً بالمدخلات وسيؤدي تغيير الإدخال بطريقة خطية إلى تغيير النواتج بنفس الطريقة الخطية.
  
• يمكن وصف نظام (LTI) بأكمله بوظيفة واحدة تسمى الاستجابة النبضية، وهذه الوظيفة موجودة في المجال الزمني للنظام، لاعلاوة على ذلك إذا تم تجميع سلسلة من أنظمة (LTI) معاً، فإنّ نواتج ذلك النظام الجديد لا يعتمد على الترتيب الذي تم به تسلسل الأنظمة، وإنّما يتبع هذا التسلسل من المدخلات الترابطية والمدخلات التبادلية.
  تعتبر الاستجابة النبضية خاصية مهمة بشكل خاص لأي نظام (LTI)، يمكننا استخدامه لوصف نظام (LTI) والتنبؤ بمخرجاته لأي إدخال، ولفهم الاستجابة النبضية نحتاج إلى استخدام إشارة نبضة الوحدة وهي إحدى الإشارات الموضحة في ويكي الإشارات والأنظمة، ولها العديد من التطبيقات الهامة في أخذ العينات، وتُعد إشارة نبضة الوحدة هي ببساطة إشارة تنتج إشارة 1 في الوقت = 0، أي إنّها صفر في كل مكان آخر.
  
• الالتواء: هو تمثيل للإشارات كمجموعة خطية من إشارات الدخل المتأخرة، وبعبارة أخرى نقوم فقط بتقسيم الإشارة إلى المدخلات التي تم استخدامها لإنشائها، ومع ذلك يتم استخدامه بشكل مختلف بين إشارات الوقت المنفصلة وإشارات الوقت المستمرة بسبب خصائصها الأساسية، وتكون إشارات الوقت المنفصلة هي ببساطة مجموعات خطية من النبضات المنفصلة، لذا يمكن تمثيلها باستخدام مجموع الالتواء، من ناحية أخرى فإنّ الإشارات المستمرة مستمرة وتتطلب هذه الإشارات مثلها مثل حساب المنطقة الواقعة تحت منحنى دالة متصلة بعمل تكامل الالتواء.
  

الالتواء له العديد من الخصائص المهمة:

1. التبادلية (Commutativity).
   
2. الترابطية (Associativity).
   
3. توزيعية الجمع (Distributivity of Addition).
   
4. عنصر الهوية (Identity Element).
   

• يمكن وصف نظام (LTI) من خلال وظيفة النقل الخاصة به، وتكون وظيفة النقل هي تحويل لابلاس للاستجابة النبضية ويغير هذا التحول الوظيفة من المجال الزمني إلى مجال التردد، هذا التحول مهم لأنّه يحول المعادلات التفاضلية إلى معادلات جبرية ويحول الالتفاف إلى ضرب، أمّا في مجال التردد يكون الناتج هو نتاج وظيفة النقل مع المدخلات المحولة، بالإضافة إلى الأنظمة الخطية والثابتة فإنّ أنظمة (LTI) هي أيضاً أنظمة ذاكرة قابلة للانعكاس وعارضة وحقيقية ومستقرة، وهذا يعني أنّ لديهم ذاكرة ويمكن قلبهم ويعتمدون فقط على الأحداث الحالية والماضية ولديهم مدخلات ومخرجات حقيقية بالكامل وينتجون مخرجات محدودة لمدخلات محدودة.
  
• الالتفاف النبضي  (Convolving with an impulse): هو الإدخال التعسفي الذي يكون ناتج نظام (LTI) فيه هو الالتفاف لإشارة الإدخال مع الاستجابة النبضية للنظام.
  
• الخاصية التبادلية (Commutative).
  
• الخاصية الترابطية (Associative).
  
• خاصية التوزيع (Distributive).
  
• وجود ذاكرة (Memory).
  
• خاصية الانعكاس (Invertibility).
  
• خاصية السببية (Causality).
  
• خاصية الثبات أو الاستقرار (Stability).
  
• خاصية استجابة خطوة الوحدة (Unit step response).
  تعمل الخطية بين المدخلات والمخرجات وكذلك ثبات معلومات النظام على تبسيط النموذج الرياضية، أمّا السببية أو السلوك غير المتوقع للنظام، يتعلق بعلاقة السبب والنتيجة بين المدخلات والمخرجات ومن الضروري عندما يعمل النظام في ظل مواقف الوقت الفعلي أي عندما يكون هناك وقت محدود للنظام لمعالجة الإشارات الواردة إلى النظام، ويكون الاستقرار مطلوب في الأنظمة العملية ويتصرف النظام المستقر بشكل جيد في ظل المدخلات المعقولة، أمّا الأنظمة غير المستقرة فهي عديمة الفائدة.
  

أنواع أنظمة LTI:

1. نظام الوقت الخطي الثابت المنفصل:

إشارات الوقت المنفصلة هي ببساطة مجموعة من الإشارات الفردية، كما يمكن أن تكون هذه الإشارات المنفصلة نتاجاً لأخذ عينات من إشارة الوقت المستمر أو يمكن أن تكون نتاجاً لظواهر منفصلة حقاً، كما يمكن تمثيل هذه الإشارات المنفصلة في رسم بياني بنقاط فردية متصلة بالمحور السيني، وهنا يكون الوقت على المحورالسيني والإشارة على المحور الصادي، ويتم تحديده ممّا يعني أنّ وظيفة الإشارة ليست مستمرة، لذلك هناك حاجة إلى حساب ناتجها في أي وقت معين.

2. نظام الوقت الخطي الثابت المستمر:

تحتوي أنظمة (LTI) المستمرة على إشارات يتم تحديدها في جميع القيم الزمنية الممكنة، لذلك نحتاج إلى استخدام التكاملات لفهم هذا النوع من النظام بشكل صحيح.

ملاحظة:نظراً لأنّ أنظمة (LTI) هي مجموعة فرعية من الأنظمة الخطية، فإنّها تخضع لمبدأ التراكب.

الفرق بين أنظمة الوقت الخطي الثابتة المتسلسلة والمتوازية:

1. أنظمة الوقت الخطي الثابت المتسلسل:

 إذا كان نظامان أو أكثر من أنظمة (LTI) متسلسلين مع بعضهما البعض، فيمكن تبديل ترتيبهما دون التأثير على الناتج الإجمالي للنظام، والأنظمة المتسلسلة تسمى أيضاً الأنظمة المتتالية.

2. أنظمة الوقت الخطي الثابت بالتوازي:

 إذا كان نظامان أو أكثر من أنظمة (LTI) متوازيتين مع بعضهما البعض، فإنّ النظام المكافئ هو الذي يتم تعريفه على أنّه مجموع هذه الأنظمة الفردية.

مميزات LTI:

1. من المهم أنّ ندرك أنّه في الممارسة العملية يتم استخدام العديد من أنواع الأنظمة، كما يمكن اعتبار بعضها فقط نظام (LTI)، والميزة لمعالجة أنظمة (LTI) في الإشارات والأنظمة الأساسية هي الأناقة والبساطة النسبية للنظرية الأساسية، كما يسهل التحقق من الاستقرار والسببية، ويتم وصف العلاقة بين المدخلات والمخرجات بشكل ملائم عن طريق الالتواء في المجال الزمني أو الضرب في مجال التردد، ويُعد تحويل فورييه أداة قوية لتحليل أنظمة (LTI).
   
2. ميزة أخرى هي السهولة النسبية التي يمكن بها تصميم هذه الأنظمة، فكر فقط في العدد الهائل من أساليب تصميم المرشح، وعلى الرغم من أنّ أنظمة (LTI) تُستخدم غالباً في الممارسة العملية، ستجد العديد من المواقف التي تتطلب أنظمة أخرى.
   مثال بسيط على نظام خطي ولكن متغير بمرور الوقت هو المغير الذي يضاعف الإشارة بوظيفة معينة بحيث يكون دارة القرار في المستقبل وهي نظام غير خطي، والمعادل التكيفي هو نظام متغير بمرور الوقت وغير خطي، لأنّ تكييف المعاملات يعتمد على الإشارة الداخلة.
   

عيوب LTI:

العيوب هي أنّ انظمة (LTI) لا تتعامل بشكل جيد مع عدم الاستمرارية والخطية مثل تكميم السعة والتشبع، ونظراً لارتباطهما ارتباطاً وثيقاً بالمربعات الصغرى والضوضاء الغوسية فإنّ أنظمة (LTI) ليست هي الأقوى في مواجهة الأخطاء والقيم المتطرفة.

تم تطوير فكرة إشارات الجذر والهياكل جيداً للأنظمة الشبيهة بالمتوسط ​​على سبيل المثال، ولكن قد لا يتم استخدامها كثيراً باستثناء تصميم المرشح المتوسط، أمّا في معالجة الصور غالباً ما لا يتم التحقق من الخطية، والتشكل الرياضي هو مثال آخر على إطار عمل قوي، لا يعتمد على الجبر الخطي ولكن على الشبكات، وعلى ما يبدو فإنّهم مرتبطون بطريقة ما من خلال تحويل (Cramer).

لماذا يستخدم الأنظمة الخطية الثابتة للوقت للإشارات الصوتية؟

عادةً ما يكون التشوه التوافقي الموجود في الصوت الغير مرغوب فيه للغاية للإشارات الصوتية باستثناء المؤثرات الخاصة تم إنشاؤها بواسطة أنظمة غير خطية، فإنّ الناتج يحتوي على ترددات لم تكن موجودة في المدخلات وبسبب الطريقة التي يسمع بها البشر النوتات الموسيقية والجرس قد يكون هذا مزعجاً للغاية، أمّا عندما يستخدم الأنظمة الخطية فإنّه التشوهات الموجودة في الإشارات الصوتية تقل بكثير وأصبح نقل الإشارات الصوتية سهل ومسموع.

يرمز نظام (LTI) المستمر إلى نظام الوقت الخطي الثابت، وتلعب نظرية أنظمة (LTI) دوراً رئيسياً في تصميم معظم الأنظمة الديناميكية، كما يمكن نمذجة معظم الأنظمة العملية ذات الأهمية كوقت خطي في أنظمة متغيرة أو على الأقل تقريب لها حول نقطة التشغيل الاسمية بسبب بساطتها أي نظرية أنظمة (LTI) في التعامل مع الأنظمة الحقيقية المعقدة وتم تجهيز تحليل أنظمة (LTI) بنظرية متطورة وغنية بمحتواها.