تحويل فورييه للإشارات الدورية وغير الدورية

بدأ تحويل فورييه في الأصل كطريقة للتعامل مع الإشارات غير الدورية، فلا يزال بإمكاننا استخدامه لتحليل إشارات الفترة وهي طريقة المعالجة ذات شقين، أولها إنّ أي إشارات دورية يمكن أن تتحلل من حيث سلسلة فورييه التي هي عبارة عن مجموع الأسس المعقدة، وثانياً إنّ لكل أسي تحويل فورييه كدالة دلتا في مجال التردد.

وبمجرد استخدام التراكب فإنّ تحويل فورييه للإشارة الدورية يتكون من سلسلة من وظائف دلتا في مجال التردد وتكون متباعدة بشكل موحد عن طريق التردد الأساسي للإشارة الدورية في المجال الزمني بما في ذلك النبض الدوري ووظيفة القبعة الدورية ووظيفة القطع المكافئ الدورية كما يمكن أن نشتق أيضاً العلاقة بين تحويل فورييه للنسخة غير الدورية وتحويل دوري، وخلال الانتقال من إصدار غير دوري إلى إصدار دوري ينهار طيف التردد من نسخة مستمرة إلى أخرى منفصلة.

ما هي الإشارة الدورية؟

الإشارة الدورية (Periodic signal): هي الإشارة التي تُكرر تسلسل القيم بالضبط بعد فترة زمنية محددة، تُعرف بالفترة، وتتضمن أمثلة الإشارات الدورية: الإشارات الجيبية وموجة المثلث والموجة المربعة والإشارات غير الجيبية المتكررة بشكل دوري مثل متواليات النبضات المستطيلة المستخدمة في الرادار.

ميزات الإشارة الدورية:

• تُعتبر الإشارة دورية إذا أعادت نفسها بعد فترة زمنية محددة.
  
• يمكن تمثيل الإشارة الدورية بمعادلة رياضية.
  
• يمكن تحديد قيمة الإشارة الدورية في أي وقت.
  
• الإشارة الدورية هي إشارات حتمية.
  
• جميع الإشارات الدورية المحدودة هي إشارات طاقة لأنّها لا تتقارب مع قيمة محدودة لذا فإنّ طاقتها غير محدودة وقوتها محدودة، والإشارة هي إشارة طاقة إذا كانت طاقتها محدودة والطاقة صفر.
  
• الموجة الجيبية وموجة جيب التمام وموجة المثلث والموجة المربعة هي أمثلة للإشارة الدورية.
  

ما هي الإشارة غير الدورية؟

الإشارة غير الدورية (Non-periodic signal): هي الإشارة التي لا تُكرر نفسها بعد فترة زمنية محددة ومن أجل إظهار أنّه يمكن التعبير عن إشارة غير دورية كمجموع مستمر أو متكامل من الأسي اللانهائي، يتم تطبيق عملية مقيدة، مثال على الإشارة غير الدورية: هي الإشارة التي يتم إنشاؤها بواسطة الميكروفون أو الهاتف عند نطق كلمة أو كلمتين والإشارات التي يتم نشرها بواسطة محطة راديو AM أو محطات راديو FM كلها إشارات غير دورية.

ميزات الإشارة غير الدورية:

• تُعتبر الإشارة إشارة غير دورية عندما لا تكرر نمطها خلال فترة أو فترة زمنية.
  
• لا يمكن تمثيل الإشارة غير الدورية بأي معادلة رياضية.
  
• لا يمكن تحديد قيمة الإشارة غير الدورية بشكل مؤكد في أي نقطة زمنية معينة.
  
• الإشارة غير الدورية هي إشارات عشوائية.
  
• لا تتكرر الوظيفة غير الدورية أبداً على الرغم من أنّه من الناحية الفنية يمكن اعتبار الوظيفة غير الدورية وظيفة دورية ذات فترة غير محدودة.
  

تحليل فورييه للإشارات الدورية وغير الدورية:

تمثيل التردد للإشارات الدورية يشير إلى كيفية تخصيص قوتهم أو طاقتهم لمختلف الترددات، مثل هذا التوزيع على التردد يسمى طيف الإشارة، أمّا بالنسبة للإشارة الدورية يكون الطيف منفصلاً حيث تتركز قوته عند ترددات مضاعفات ما يسمى التردد الأساسي وترتبط مباشرة بفترة الإشارة.

أمّا من ناحية أخرى، فإنّ طيف الإشارة غير الدورية هو دالة التردد غير المستمرة ويعتبر تمثيل فورييه مفيداً أيضاً في إيجاد استجابة التردد الأنظمة الخطية غير المتغيرة والتي ترتبط بوظيفة النقل التي تم الحصول عليها مع تحويل لابلاس كما تشير استجابة التردد لنظام ما إلى كيفية استجابة نظام (LTI) لموجات الجيوب ذات الترددات المختلفة، مثل هذه الاستجابة تميز النظام ويسمح بحساب سهل لاستجابة الحالة المستقرة، وسيكون متساوياً مهم في تركيب الأنظمة، يكون تحليل فورييه في حالة ثبات بينما تحليل لابلاس تعتبر كلّاً من حالة عابرة وثابتة.

سلسلة فورييه هي تمثيل لدوري إشارة (x(t من حيث الأسي المعقدة أو الموجات الجيبية من مضاعفات التردد الأساسية تردد (x(t، وميزة استخدام سلسلة فورييه للتمثيل الإشارات الدورية ليست فقط التوصيف الطيفي التي يتم الحصول عليها، ولكن في العثور على الاستجابة لهذه الإشارات متى تطبق على أنظمة (LTI) كما يمكن استخدام سلسلة فورييه لتمثيل الإشارات بمزيج من الجيب وجيب التمام المختلفة.

تحليل فورييه للإشارات غير الدورية بأنّ معظم الإشارات ليست دورية، وحتى الإشارات الدورية قد يكون لها فترة غير معروفة، لذلك يجب أن نكون مستعدين للقيام بتحليل فورييه للإشارات دون الافتراض المطمئن بأنّ الإشارة لتحليل تتكرر في فترة ثابتة، كما يمكن ببساطة أخذ عينات من الإشارة وجعلها دورية ومع ذلك سيكون من الأفضل الحصول على نتيجة تكون فيها الاستجابة لجيب جيبي نقي مترجمة بشكل أفضل حول القيمة المقابلة المبالغة.

الاتصالات تدور حول نقل المعلومات، ومع ذلك فإنّ الإشارة الدورية لها إمكانيات محدودة لنقل المعلومات بسبب إمكانية التنبؤ بها، وبعد تلقي بضع دورات وتحديد النمط فأنّ الدورات التالية ستكون متطابقة تماماً وقد تنقل الإشارة معلومات مهمة عندما تبدأ، كما في حالة إنذار الحريق حيث توجد دعوة لاتخاذ إجراء فوري بمجرد سماع الصوت، لكن الإشارة التي لا تتغير أبداً في السعة أو التردد أو الطور أو أي جانب آخر تنقل القليل من المعلومات الإضافية إلى المستلم، لذلك في الاتصالات العملية تكون الإشارات الدورية هي الاستثناء أمّا الإشارات التي تحمل معلومات حقيقية مثل الكلام أو الموسيقى أو الفيديو لا تتكرر إلى ما لا نهاية.

لا تحتوي الإشارات غير الدورية على تردد معين واحد فقط، بدلاً من ذلك يتم توزيعها على مدى مستمر من الترددات، فعلى سبيل المثال تتراوح إشارة الكلام من حوالي 100 هرتز إلى بضعة آلاف هرتز أمّا بالنسبة للكلام بجودة الهاتف غالباً ما يُفترض نطاق من (300 هرتز إلى 3400 هرتز).

تحويل فورييه تسلسل زمني منفصل وغير دوري:

إذا كانت الإشارة منفصلة في الوقت المناسب، فإنّ لها تحويل فورييه مستمر ودوري في التردد كما يمكننا أنّ نرى ذلك من خلال تبديل معلمات الوقت والتردد بحيث يمكن النظر إلى التسلسل الزمني المنفصل على أنّه سلسلة فورييه للتحويل المستمر، وتسهل سلسلة فورييه تمثيل الإشارات الدورية لأنّها أداة رياضية تسمح بتمثيل أي إشارات دورية كمجموع من أشباه موجات الجيوب المتجانسة.

والأهم من ذلك إذا كان التسلسل الزمني المنفصل عبارة عن نسخة مأخوذة من عينة لإشارة زمنية متصلة وكان معدل أخذ العينات أكبر من ضعف أعلى تردد للإشارة المستمرة، فسيكون تحويل فورييه للإشارة المأخوذة من العينات نسخة دورية من تحويل فورييه من الشكل الموجي الأصلي المستمر كما يمكن اشتقاق جميع المعلومات الموجودة في شكل الموجة المستمر من شكل الموجة الذي تم أخذ عينات منه كما يُطلق على تحويل فورييه لإشارة منفصلة غير دورية اسم تحويل فورييه الزمني المنفصل أو (DTFT).

يتم إجراء تحليل مجال التردد للتفاعل بين إشارة دورية وغير دورية باستخدام تحويل فورييه أو تحويل فورييه ذي الوقت المنفصل، وهذا يتطلب تعريف فورييه وتحويلات فورييه للوقت المنفصل للإشارات الدورية، وتُعد القدرة على تمثيل الإشارات الدورية باستخدام تحويل فورييه أو تحويل فورييه للوقت المنفصل مهارة أساسية للاستفادة الكاملة من قوة التحليل للتحولات المقابلة.

يتم تعريف الإشارة الدورية المنفصلة تمامًا من خلال قيمها في فترة واحدة، مثل الفاصل الزمني (0، N) ويمكن تعريف أي إشارة غير دورية على أنّها مجموع لا حصر له من الوظائف الدورية وهو تعريف مفيد يجعل من الممكن استخدام تحليل فورييه عليها بافتراض وجود جميع الترددات في الإشارة.

الفرق بين مهام الوقت الحقيقي للإشارات الدورية وغير الدورية:

1. المهام الوقت الحقيقي في الإشارات الدورية:

تُعرف مهمة الوقت الفعلي للإشارة التي تتكرر بعد فترة زمنية معينة باسم مهمة الوقت الحقيقي للإشارة الدورية، وبشكل أساسي يتم التحكم في المهام الدورية في الوقت الفعلي من خلال مقاطعات الساعة، لذلك تسمى المهام الدورية في الوقت الحقيقي أيضًا مهام تعتمد على مدار الساعة ويُعرف الفاصل الزمني الذي بعده تكرر المهمة نفسها باسم فترة المهمة، فعلى سبيل المثال عندما يكتشف الرادار وجود شيء ما ويرسل إشارة فإنّ منطقة إشارة الرادار هي مثال على مهمة دورية في الوقت الحقيقي.

2. مهام الوقت الفعلي للإشارات غير الدورية:

تكون المهمة في الوقت الفعلي التي تحدث في أي وقت عشوائي باسم مهمة الوقت الفعلي للإشارة غير الدورية، وبين مهمتين في الوقت الحقيقي للإشارتين غير الدوريين قد يكون الفاصل الزمني صفراً، عادةً ما تكون مهام الوقت الفعلي الناعمة مهام غير دورية في الوقت الفعلي ومن الممكن أن تحدث هذه المهام بشكل متكرر أو قد يكون هناك فاصل زمني كبير بين إشارتين في الوقت الفعلي غير الدوريين، فعلى سبيل المثال تُعد إنتقال الإشارة من محطة الراديو مهمة غير دورية في الوقت الفعلي.