تحويل هيلبرت - Hilbert Transform

يلعب تحويل هيلبرت دوراً مهماً في معالجة الإشارات والعديد من مجالات العلوم والهندسة الأخرى مثل علم الزلازل والتطبيقات الطبية، تتضمن أمثلة التطبيقات في معالجة الإشارات تحديد أغلفة الإشارة وتنظيم مشاكل التقارب في إلغاء الصدى الصوتي متعدد القنوات وأخذ عينات من إشارات ممر النطاق للاتصال وتنفيذ المُعدِّلات.

ما هو Hilbert Transform؟

تحويل هيلبرت (Hilbert Transform): هو تحويل للإشارة (u(t الذي يتم فيه إزاحة زاوية الطور لجميع مكونات الإشارة بمقدار (± 90 درجة).

على الرغم من أنّ تحويل هيلبرت (HT) مثل (FFT) هو عامل خطي إلّا أنّه مفيد لتحليل الإشارات غير الثابتة من خلال التعبير عن التردد كمعدل تغيير في الطور بحيث يمكن أن يتغير التردد بمرور الوقت وعادةً ما تتعايش عدة ترددات متغيرة بمرور الوقت.

تم تعريف تحويل هيلبرت جيدًا للوظائف في (L_P (R لـ (p>1 وp<1) (حيث تشير P إلى قيمة Cauchy الأساسية)، بالإضافة إلى ذلك يرتبط ارتباطاً وثيقاً بتحويل فورييه في أنه إذا كانت (u(t إشارة معقدة، فإنّ مرحلة تحويل هيلبرت تغير التردد السلبي مكونات بواسطة (π / 2) ومكونات التردد الموجب بمقدار (−π / 2).

لتحسين هذا التأثير، يتم استخدام العديد من محولات (FIR Hilbert) ذات النوافذ (Bartlett وHanning وKaiser)، وتعتمد خصائص محولات هلبرت على معاملات الاستجابة النبضية بشكل أساسي حيث يوجه أدائها المفاضلة بين تقليل اتساع معدل الجذر التربيعي (rms ripple) وتقليل نطاق التمرير أو عرض نطاق المرور الانتقالي، ومع ذلك غالباً ما تؤدي اختيارات المعلومات المناسبة إلى نتائج مقبولة لتطبيقات معالجة الإشارات.

ويُعد تحويل هلبرت بأنّه تقنية مستخدمة للحصول على استجابة طورية دنيا من التحليل الطيفي وعند إجراء تحويل فورييه السريع التقليدي (FFT) فإنّ أي طاقة إشارة تحدث بعد الوقت (t = 0) ستنتج مكون تأخير خطي في طور (FFT).

ملاحظة: إنّ تحويل هلبرت للثابت هو صفر وإذا قمت بحساب تحويل هيلبرت في أكثر من بُعد واحد ولم يتغير أحد الأبعاد أي ثابت، فسيكون التحويل صفراً أو على الأقل عددياً قريباً من الصفر.

المعلومات الناتجة من Hilbert Transform:

الإشارة التحليلية الناتجة عن تحويل هيلبرت مفيدة في العديد من تطبيقات تحليل الإشارات وإذا قمت بتصفية الإشارة يمنحك تمثيل الإشارة التحليلية معلومات حول البنية المحلية للإشارة:

• يشير الطور إلى التناظر المحلي عند النقطة حيث يكون عند القيمة 0 متماثلاً موجبًا (ذروة) ويكون متماثل سالب (قاع) و(± π / 2) غير متماثل أي حافة صاعدة أو هابطة.
  
• السعة تشير إلى قوة الهيكل عند النقطة بغض النظر عن التناظر (الطور).
  
• واستخدم هذا التمثيل في اكتشاف الميزة عبر الطاقة المحلية (السعة) وتصنيف الميزات باستخدام المرحلة والكشف عن الميزات عبر تطابق المرحلة، كما أنّه يمتد إلى أبعاد أعلى باستخدام تحويل (Riesz) على سبيل المثال الإشارة أحادية المنشأ.
  

خصائص Hilbert Transform:

تحويل إشارة (x(t ومشتقتها باستخدام هلبرت يكون لها الخصائص التالية:

• نفس طيف الاتساع.
  
• لها نفس وظيفة الارتباط التلقائي.
  
• كثافة الطاقة الطيفية هي نفسها لكل من (x(t ومشتقتها.
  
• تكون الإشارة (x(t ومشتقتها متعامدتين.
  
• تحويل هلبرت لمشتقتها هو (x(-t.
  
• إذا كان تحويل فورييه موجوداً فإنّ تحويل هيلبرت موجود أيضاً لإشارات الطاقة.
  

يتيح لنا تنفيذ تحويل هيلبرت إنشاء إشارة تحليلية بناءً على بعض الإشارات الأصلية ذات القيمة الحقيقية، وفي عالم الاتصالات يمكننا استخدام الإشارة التحليلية لحساب الحجم الفوري للإشارة الأصلية ذات القيمة الحقيقية بسهولة وبدقة، كما يتم استخدام هذه العملية في إزالة تضمين السعة (AM)، وأيضاً من الإشارة التحليلية يمكننا بسهولة ودقة حساب المرحلة اللحظية للإشارة الأصلية ذات القيمة الحقيقية، يتم استخدام هذه العملية في كل من المرحلة واستخراج التضمين (FM).

تطبيقات على استخدام Hilbert Transform:

1. تخطيط كهربية القلب:

يُعد تحويل هيلبرت أداة مستخدمة على نطاق واسع في تفسير مخطط كهربية القلب (ECGs)، ومن المهام الشائعة عند التعامل مع إشارات مخطط كهربية القلب هو استخرج ما يسمى بمركب (QRS) وهو أعلى قمة تظهر في الرسم البياني للمخطط من ((ECG (t)، هذه الطريقة جذابة للغاية لأنّنا مطالبون فقط بحساب تحويل هلبرت وليس هناك اشتقاق عددي بحيث يكون مع تحويل هلبرت من الممكن توسيع إشارة قيمة حقيقية إلى ما يسمى بالإشارة التحليلية.

إنّ كل أنواع الموجات الجيبية إذا امتدت إلى إشارات تحليلية تشكل حلقات تحيط بالأصل في المستوى المعقد، وهكذا فإنّ مركب (QRS) وهو عبارة عن موجة جيبية مشوهة، ينتج أيضاً حلقات مغلقة في المستوى المعقد، وإذا لم يكن مركب (QRS) المراد اكتشافه مرتفعاً بدرجة كافية، فإنّ الطريقة لا تعمل وعندما يكون مجمع (QRS) منخفضاً جداً فإنّ التمدد التحليلي لن ينتج مجموع (QRS) لحلقة رئيسية واحدة يمكن تمييزها بنقطة الأصل، قد لا يتم اكتشافه أو قد يتم تفسير القمم الأخرى في مخطط كهربية القلب خطأً على أنّها مركب (QRS) الذي وجدناه.

2. تحويل هلبرت – هوانغ:

في تحليل السلاسل الزمنية، يّعتبر تحويل فورييه هو الأداة المهيمنة، ومع ذلك فإنّ هذه الطريقة ليست جيدة بما يكفي للبيانات غير الثابتة أو غير الخطية، لهذا الغرض تم اقتراح تحويل ((Hilbert-Huang (HHT) في عام 1996م، واكتسبت هذه الطريقة شعبية وتستخدم على نطاق واسع في التحليل الطيفي لأنّها على عكس “طرق فورييه” الشائعة تفترض أنّ تردد وسعة التوافقيات يعتمدان على الوقت، ويتم تحقيق ذلك عن طريق تحليل السلاسل الزمنية إلى ما يسمى بوظائف الوضع الجوهري (IMFs)، ومع ذلك على الرغم من الجهود الكبيرة فإنّ (HHT) حتى يومنا هذا يفتقر إلى إطار رياضي والطريقة تجريبية بالكامل، وبالتالي يتم إجراء التحقيق في هذه الطريقة عددياً.

يجب مراعاة قيود (HHT) المكتشفة أثناء التجارب وإنّ إمكانية إجراء مزيد من البحث في هذا المجال هي كيفية تقليل هذه القيود بشكل أكبر خاصة في حالة “الترددات المجاورة”، ربما يمكن تحسين خوارزمية التحلل للتعامل بشكل أفضل مع الترددات المجاورة وتقليل التأثيرات النهائية الظاهرة أو حتى إزالتها حتى يكون مرغوب فيها، وأكبر ميزة لـ(HHT) هي أنّه يتعامل مع العمليات غير الثابتة.

فعلى سبيل المثال النظر في سيناريو حيث نقيس الموجات الزلزالية فيما يتعلق بنشاط الزلزال وبسبب الطبيعة غير الثابتة من هذه الحالات، حيث يتقلب تواتر الموجات الزلزالية مع مرور الوقت، ويعتبر (HHT) أداة مناسبة للغاية في تحليل هذه الموجات في هذه الأنواع من المواقف، ويُعد تحليل فورييه الطيفي في كثير من الأحيان غير مناسب.

3. التعديل:

إرسال إشارة محدودة النطاق (m(t يتم عادةً في نطاق تردد يتمحور حول بعض الترددات (f_c) وهذا سهل إلى حد ما باستخدام التعديل.

مزايا Hilbert Transform:

• تتطلب هذه الطريقة حساب تحويل هلبرت؛ استبانة التردد الزمني غير مقيد بمبدأ عدم اليقين ودقة التردد أدق من مخطط فورييه الطيفي.
  
• اكتمال تحلل الإشارة الأصلية إلى أنماط متتالية وإذا قمنا بضرب بعض هذه الأوضاع، فسيساهم ذلك في التخفيف من وجود ضوضاء في الإشارة الأصلية والقدرة على تحديد المعلومات ذات الصلة.
  
• يمكن تحليل تطور التردد لكل وضع على أنّه إشارة أحادية البعد (1D)، ولا نحتاج إلى علاج لاحق ثنائي الأبعاد كما هو مطلوب عادةً لاستخراج الميزات.
  
• إزالة الذبذبات يسمح بدراسة مفصلة للمغلف.
  
• نظرا لأنّها دالة موجبة يمكن تمثيلها بيانياً باستخدام مقياس السعة اللوغاريتمي لتمكين نطاق عرض (80 ديسيبل) أو أكثر، وتتضمن الإشارة الأصلية كلاً من القيم الموجبة والسالبة ويتم عرضها تقليدياً باستخدام مقياس الاتساع الخطي، وهذا يحد من نطاق العرض إلى حوالي (40 ديسيبل).
  

إخفاء المعلومات باستخدام تحويل هيلبرت المنفصل – DHT:

يتم ترميز المعلومات السرية التي قد تكون صورة أو تسلسل خطي آخر في شكل ثنائي، كما يتم إخفاء إشارة (Steganographic) في اختلافات الطور التي سيتم إنتاجها بناءً على ما إذا كانت إشارة الخطاب المباشر الخفي أو (DHT) الخاصة بها قد تم نقلها، ولا يؤثر (DHT) على الطيف لأنّه يغير المرحلة فقط ونظام الإدراك البشري غير حساس لها فإنّ حقيقة أنّ إشارة إخفاء المعلومات تحمل معلومات سرية إضافية لن تكون واضحة.

يتم تحديد التسلسل السري من خلال النظر في المعلومات المعالجة (DHT) لتحولاتها في الطور وفقاً للساعة، وبخلاف ذلك لن يتأثر شكل الموجة الخطابية وبالتالي من أساس الإدراك سيتم ترتيبه.

لتحويل هيلبرت العديد من التطبيقات في معالجة الإشارات والتصوير والتعديل و إزالة التشكيل وتحديد التردد الفوري والتشفير حيث يتكون تحويل هيلبرت المنفصل (DHT) من عدة أشكال تستخدم هذه الأشكال الدوال المثلثية وبالتالي فهي كثيفة الحساب نسبياً، لهذا السبب نقوم بالتحقيق في استخدام (DHT) الأساسي وهو تطبيق إخفاء المعلومات الذي يفسح المجال لـ(DHT) بشكل طبيعي لأنّ تحول الطور في الكلام لا يحدث فرقاً فيما يتعلق بالإدراك للحصول على خلفية عن المعلومات التماثلية.