الهاملتونيان في فيزياء الكم

تعد ميكانيكا هاملتون هي صياغة للميكانيكا الكلاسيكية يتم فيها وصف حركة النظام من خلال الطاقة الكلية بواسطة معادلات هاملتون للحركة، وتعتمد ميكانيكا هاملتونيان على صياغة لاغرانج، وهي أيضًا معادلة لميكانيكا نيوتن، وعلى الرغم من أن ميكانيكا نيوتن ولاجرانجيان وهاملتونيان متكافئة من حيث المبدأ، فإن ما يجعل ميكانيكا هاملتون فريدة من نوعها حقًا هو تفسيرها الهندسي ومفهوم فضاء الطور.

الهاملتونيان في فيزياء الكم

ميكانيكا هاملتونيان لها علاقة صغيرة بميكانيكا لاغرانج، وهي تفرد في طبيعتها الهندسية التي التي لا تمتلكها الصيغ الأخرى للميكانيكا الكلاسيكية، تعتمد ميكانيكا هاملتونيان عمليا على مفهومين أساسيين، كلاهما يمتد إلى حد كبير لجميع مجالات الفيزياء بطريقة ما.

الأول يسمى هاملتونيان، وهو نوع من الوظيفة التي تصف حالة حركة الجسيم من خلال الطاقة الحركية والوضعية، والكمية المهمة الأخرى تسمى الإجراء، والتي تستخدم لتحديد المسار عبر المكان والزمان.

كمقدمة عامة، فإن ميكانيكا هاملتونيان هي صياغة للميكانيكا الكلاسيكية التي تستند إلى مبدأ العمل الثابت والتي تستخدم فيها الطاقات لوصف الحركة، ويتم الحصول على معادلات الحركة بعد ذلك بواسطة معادلة هاملتونيان، وهي شرط أن يكون الإجراء ثابتًا.

تطبيقات الهاملتونيان في فيزياء الكم

الديناميكا الحرارية والميكانيكا الإحصائية

• تعتمد الميكانيكا الإحصائية بشكل كبير على فكرة فضاء الطور، وهي فكرة مركزية في ميكانيكا هاملتون، لذلك، تتطلب العديد من المفاهيم في الميكانيكا الإحصائية فهم ميكانيكا هاملتون بشكل صحيح.

نظرية الاضطراب والفوضى:

• في الحالات التي تكون فيها معادلات الحركة لنظام ما معقدة للغاية بحيث لا يمكن حلها تحليليًا، يمكن استخدام نظرية الاضطراب لإيجاد حلول تقريبية، وغالبًا ما يكون ذلك أسهل باستخدام شكليات هاميلتون.

• مثال على ذلك هو حساب التصحيحات النسبية لمدارات الكواكب، مثل نقطة الحضيض، ويمكن القيام بذلك باستخدام نظرية الاضطراب وصيغة هاميلتوني.

• أيضًا، ميكانيكا هاملتونيان بمفهوم فضاء الطور، تتناسب جيدًا مع نظرية الفوضى، حيث قد يكون هناك الحاجة لتحليل ما إذا كان النظام الديناميكي المعقد فوضويًا أم لا.

ميكانيكا الكم ونظرية المجال الكمي

• في ميكانيكا الكم، يتحول هاملتونيان للنظام الكلاسيكي إلى عامل هاميلتوني لنظام كمي، ويستخدم هذا لحساب مستويات الطاقة لأنظمة الكم المختلفة من خلال معادلة شرودنغر.

• يمكن تعميم عامل هاميلتوني على نظرية المجال الكمومي في عملية تُعرف باسم التكميم الكنسي، حيث يمكن اعتبار هاميلتوني للحقل الكمومي “عددًا لا حصر له من المذبذبات التوافقية الكمية”.

النسبية الخاصة والعامة

• يمكن تطبيق شكليات هاملتون بشكل مباشر تمامًا لتعريف مفهوم الطاقة في النسبية الخاصة، ويمكن استخدامها لاشتقاق الصيغة الشهيرة E = mc ^2.

• في النسبية العامة، يمكن تطبيق مفهوم التدفق الهاميلتوني (الذي يصف التطور الزمني لنظام في فضاء الطور) لاشتقاق الجيوديسيا، وهي مسارات الأجسام في الزمكان المنحني تحت تأثير الجاذبية.

• يمكن استخدام صيغة هاميلتونيان في كثير من الأحيان للعثور على الكميات المحفوظة بسهولة أكبر بكثير من استخدام صيغة لاغرانج، مثال على ذلك هو اشتقاق ثابت كارتر للحركة حول الثقب الأسود، والذي بخلاف ذلك سيكون من الصعب جدًا العثور عليه إذا لم يكن لأدوات ميكانيكا هاملتون.

أهمية الهاملتونيان في فيزياء الكم

تعتمد ميكانيكا هاملتونيان على فكرة بناء هاملتوني لنظام معين، على نحو مشابه لكيفية بناء لاغرانج لنظام ما، حيث أن الهاميلتوني هو دالة لموضع وعزم النظام، ويمكن استخدامه للتنبؤ بكيفية تطور النظام بمرور الوقت من خلال معادلات هاملتون، وفي معظم الحالات يتوافق الهاميلتوني مع الطاقة الكلية للنظام .

تحافظ ميكانيكا هاميلتونيان أيضًا على استخدام الإحداثيات المعممة، والتي تعد إحدى المزايا الرئيسية لميكانيكا لاغرانج على ميكانيكا نيوتن، ويتم تعريف الشكل العام لهاملتونيان على النحو التالي:

ويتم تعريف الهاميلتوني في الواقع من حيث لاغرانج، والذي يأتي من إجراء تحول ليجيندر لاغرانج، علاوة على ذلك فإن هاميلتوني هو في الواقع دالة للسرعات على الرغم من القول سابقا أنها ستكون دالة للموضع والعزم فقط.

العلاقة بين ميكانيكا لاغرانج وميكانيكا هاملتونيان

يعد (Legendre) هو طريقة لتحويل دالة لبعض المتغيرات إلى وظيفة جديدة لمتغير مختلف، مع استمرار احتوائها على نفس المعلومات مثل الوظيفة الأصلية، وهندسيًا يتعلق هذا أساسًا بتشفير المعلومات حول وظيفة ما في خطوطها المماس في كل نقطة.

يتيح لنا تحويل (Legendre) تغيير (Lagrangian) التي هي دالة للموضع والسرعة إلى وظيفة جديدة، وهي دالة هاميلتونية، وتعتبر دالة للموضع والزخم، ورياضيًا، يقوم تحول (Legendre) عن طريقمشتق من الوظيفة الأصلية.

كيفية تكوين الهاملتونيان

لإيجاد هاملتونيان لأي نظام هناك خطوات واضحة ومهمة تسمح لنا بالتعبير عن هاميلتوني تمامًا كدالة للموضع والعزم بدلاً من السرعة.

1- بناء لاغرانج للنظام من خلال مجموعة من الإحداثيات المعممة.

2- إيجاد العزم المعمم من لاغرانج.

3- إيجاد السرعات بدلالة العزم المعمم .

4- إدخال السرعات من حيث العزم في الشكل العام لهاملتونيان.

5- يجب أن يكون هناك هاميلتوني كدالة للموضع والعزم.

هاملتونيان ومعادلات الحركة

تتكون معادلات هاملتون للحركة عمومًا من معادلتين تفاضليتين من الدرجة الأولى، حيث تعمل معادلات هاملتون بشكل مشابه لمعادلة أويلر-لاغرانج في ميكانيكا لاغرانج، بمعنى أن هناك توصيل هاميلتوني معين بها للحصول على معادلات الحركة التي تصف النظام تمامًا.

تصف معادلات هاملتون كيف يتغير موضع وعزم النظام بمرور الوقت، ويتم تحديد هذه تمامًا بواسطة هاميلتوني لهذا النظام، بمعنى ما يصف هاميلتوني بعد ذلك التطور الزمني لنظام، ففي الواقع هذا هو بالضبط ما تفعله في ميكانيكا الكم وكذلك عامل هاميلتوني في معادلة شرودنغر.

يمكن تحديد كيفية تغير النظام بمرور الوقت فقط من خلال النظر في كيفية تغير طاقته، أو بشكل أكثر دقة  كيف يتغير كل جزء من الطاقة (الطاقات الحركية والمحتملة)، ونظرًا لأن هاميلتوني يمثل طاقة النظام، فيمكن تحديد حركة النظام بمجرد النظر إلى التغييرات في هاميلتوني، والشيء الجدير بالملاحظة هو أن معادلات هاملتون للحركة مكافئة تمامًا لقوانين نيوتن للحركة وكذلك معادلة أويلر-لاجرانج.

مساحة الطور في ميكانيكا هاملتون

يأتي الجمال الحقيقي وتفرد ميكانيكا هاملتون، مقارنة بالصيغ الأخرى للميكانيكا الكلاسيكية من مفهوم فضاء الطور والهندسة المرتبطة به، وفي الفيزياء من الطرق الشائعة لوصف الأنظمة هي استخدام أنواع مختلفة من الفراغ، حيث إن المسافات هي في الأساس أنظمة إحداثيات لها قدر مهم من النظام على كل محور.

ومع ذلك، غالبًا ما تتطلب هذه المساحات أبعادًا أكثر من مجرد اثنان أو ثلاث، مما يعني أنه رياضيًا، يمكن تسميتها متشعبات، وأمثلة على بعض المساحات المختلفة:

• الفضاء المادي: تصف ميكانيكا نيوتن حركة النظام دائمًا في الفضاء المادي ثلاثي الأبعاد.

• مساحة التكوين: تصف ميكانيكا لاغرانج حالة النظام في مساحة تكوين ذات أبعاد أعلى من خلال تحديد جميع الإحداثيات المعممة للنظام في كل نقطة زمنية (“تكوين” النظام).

ومن ناحية أخرى في ميكانيكا هاملتون نستخدم فضاء الطورن، حيث يصف فضاء الطور حالة النظام عن طريق تحديد جميع الإحداثيات المعممة والعزم المعمم المرتبط بها في كل نقطة زمنية مما يجعلها متعددة الأبعاد، لذلك تصف كل نقطة في فضاء الطور حالة النظام في نقطة زمنية محددة، حيث سيكون لكل نقطة قيمة معينة للموضع والزخم، وهاتان الكميتان كافيتان لوصف النظام الكلاسيكي تمامًا.

يُعرَّف هاميلتوني للنظام بأنه مجموع الطاقات الحركية والمحتملة المعبر عنها كدالة للمواقف وعزمها المقترن، ويرتبط بكل معلمة قابلة للقياس في نظام مادي عامل ميكانيكي كم والمشغل المرتبط بطاقة النظام يسمى هاميلتوني، وبالنسبة لميكانيكا الكم يتم تحويل عناصر تعبير الطاقة هذا إلى عوامل ميكانيكا الكم المقابلة، حيث يحتوي هاملتونيان على العمليات المرتبطة بالطاقات الحركية والمحتملة ولجسيم في بعد واحد.