نظرية ميلمان في الدوائر الكهربائية - Millman’s Theorem

ما هي نظرية ميلمان في الدوائر الكهربائية؟

وفقًا لنظرية ميلمان، ينتج كل من مصادر الجهد والمقاومات الخاصة بها تيارًا، ومجموع كل التيارات يساوي إجمالي التيار الذي تنتجه الدائرة. في نظرية ميلمان (Millman’s Theorem)، يتم إعادة رسم الدائرة كشبكة متوازية من الفروع، كل فرع يحتوي على المقاومة أو مجموعة (بطاريات/ مقاومات) متسلسلة “متصلة على التوالي”. تنطبق نظرية ميلمان فقط على تلك الدوائر التي يمكن إعادة رسمها وفقًا لذلك.

كمثال على ذلك تخيل وجود هذه الدائرة الكهربائية: يوجد لدينا مصدرين جهد “بطارية” (B1) تساوي (28V)، و (B2) تساوي (7V). ولدينا المقاومات التالية: (R1) تساوي (4Ω)، و(R2) تساوي (2Ω)، و(R3) تساوي (1Ω). من خلال النظر في جهد الإمداد داخل كل فرع والمقاومة داخل كل فرع، ستخبرنا نظرية ميلمان عن الجهد عبر جميع الفروع. يرجى ملاحظة أننّا قمنا بتسمية البطارية في الفرع الموجود في أقصى اليمين على أنّها (B3) للإشارة بوضوح إلى أنّها موجودة في الفرع الثالث، على الرغم من عدم وجود (B2) في الدائرة.

معادلة نظرية ميلمان – Millman’s Theorem Equation:

نظرية ميلمان ليست أكثر من معادلة طويلة، يتم تطبيقها على أي دائرة يتم رسمها كمجموعة من الفروع المتوازية، كل فرع له مصدر جهده ومقاومته التسلسلية “المتتالية”:

(E_B1/R₁+E_B2/R₂+E_B3/R₃) / (1/R₁+1/R₂+1/R₃) = Voltage across all branches

باستبدال أرقام الجهد والمقاومة الفعلية من دائرة المثال أعلاه للمصطلحات المتغيرة لهذه المعادلة، نحصل على التعبير التالي:

(28V/4Ω+0V/2Ω+7V/1Ω) / (1/4Ω+1/2Ω+1/1Ω) = 8 V

الإجابة النهائية البالغة (8) فولت هي الجهد المرئي عبر جميع الفروع المتوازية. تتم الإشارة إلى قطبية جميع الفولتية في نظرية ميلمان إلى نفس النقطة. في المثال أعلاه، استخدم السلك السفلي للدائرة المتوازية كنقطة مرجعية، وبالتالي تمّ إدخال الفولتية داخل كل فرع (28) لفرع (R1)،(0) لفرع (R2)، و(7) لفرع (R3) في المعادلة كأرقام موجبة.

وبالمثل، عندما حصلنا على الإجابة (8) فولت “موجبة”، فإنّ هذا يعني أنّ السلك العلوي للدائرة موجب بالنسبة للسلك السفلي “النقطة المرجعية الأصلية”. إذا تمّ توصيل كلتا البطاريتين للخلف “نهاية سالبة ونهايات موجبة لأسفل”، فسيتم إدخال الجهد للفرع (1) في المعادلة كـ (-28) فولت، والجهد للفرع (3) كـ (-7) فولت، والإجابة الناتجة عن (- 8) فولت ستخبرنا أنّ السلك العلوي كان سالبًا بالنسبة للسلك السفلي “النقطة المرجعية الأولية لدينا”.

حل انخفاض جهد المقاومة – Solving for Resistor Voltage Drops:

لحل مشكلة انخفاض جهد المقاومة، يجب مقارنة جهد (Millman) “عبر الشبكة المتوازية” بمصدر الجهد داخل كل فرع، باستخدام مبدأ إضافة الفولتية على التوالي لتحديد حجم وقطبية الجهد عبر كل مقاومة:

E_R1 = 8V – 28V = -20V  (negative on top)

E_R2 = 8V – 0V = 8V  (positive on top)

E_R3 = 8V – 7V = 1V  (positive on top)

حل التيارات الفرعية – Solving for Branch Currents:

لحل التيارات الفرعية، يمكن تقسيم كل انخفاض في جهد المقاومة حسب المقاومة الخاصة به (I = E / R):

I_R1 = 20V/4Ω = 5A

I_R2 = 8V/2Ω = 4A

I_R3 = 1V/1Ω = 1A

تحديد اتجاه التيار – Determining the Direction of Current:

يتم تحديد اتجاه التيار عبر كل مقاومة من خلال القطبية عبر كل مقاومة، وليس من خلال القطبية عبر كل بطارية، حيث يمكن إجبار التيار على العودة عبر البطارية، كما هو الحال مع (B3) في مثال الدائرة. من المهم أن نضع هذا في الاعتبار نظرًا لأنّ “نظرية ميلمان” لا تقدم مؤشرًا مباشرًا على اتجاه التيار “الخاطئ” كما هو الحال مع طرق التيار الفرعي أو أساليب التيار المتشابك. يجب أن تنتبه جيدًا إلى أقطاب انخفاض جهد المقاومة كما هو محدد في “قانون الجهد لكيرشوف“، الذي يحدد اتجاه التيارات من ذلك.

تعتبر “نظرية ميلمان” ملائمة للغاية لتحديد الجهد عبر مجموعة من الفروع المتوازية، حيث توجد مصادر جهد كافية لمنع الحل عبر طريقة “التقليل المتوازية المتسلسلة العادية” (regular series-parallel reduction method). كما أنّها أصبحت أسهل بمعنى أنّها لا تتطلب استخدام معادلات متزامنة. ومع ذلك، فهي مقيدة من حيث أنّه يتم تطبيقها فقط على الدوائر التي يمكن إعادة رسمها لتناسب هذا النموذج.

لا يمكن استخدامها، على سبيل المثال، لحل دائرة الجسر غير المتوازنة (unbalanced bridge circuit). وحتى في الحالات التي يمكن فيها تطبيق نظرية ميلمان، فإنّ حل قطرات جهد المقاومة الفردية يمكن أن يكون شاقًا بعض الشيء للبعض، معادلة نظرية ميلمان توفر فقط رقمًا واحدًا لجهد الفروع.