أمثلة على التوافيق

نبذة عن التوافيق:

تُعرف التوافيق بأنها عدد طرق إختيار مجموعة من الأشياء بأخذها كلها أو بعضها بغض النظر عن التراتيب.

مثال: تحتاج الجامعة في عام ما إلى إرسال 10 مبعثوين من خريجها إلى إحدى الدول الغربية في التخصصات المختلفة وفقاً لما يلي: 4 طلاب من كلية الهندسة، 3 من كلية الطب، 3 طلاب من كلية الأعمال، وطالب واحد من كلية الزراعة، فإذا كان عدد الطلاب المؤهلين للسفر على هذه البعثات بالكليات المختلفة هم 15 في كلية الهندسة، 20 طالب من كلية الطب، 10 طلاب من كلية الأعمال، 5 طلاب من كلية الزراعة، فما هي عدد الطرق إختيار هؤلاء المبعوثين؟
أولاً المهندسين: عدد الطلاب المؤهلين (ن) = 15
عدد المبعوثين المطلوبين (ر) = 4
عدد طرق الاختيار = 15 ق ₄ = (15 × 14 × 13 × 12) / (4× 3 × 2 × 1) = 1365 طريقة.
ثانياً الأطباء: عدد الطلاب المؤهلين (ن) = 20
عدد المبعوثين المطلوبين منهم (ر) = 3
عدد طرق الاختيار = 20 ق ₃ = (20 × 19 ×18) / (3 × 2 × 1) = 1140 طريقة.
ثالثاً طلاب كلية الأعمال: عدد الطلاب المؤهلين (ن) = 10
عدد المبعوثين المطلوبين منهم (ر) = 2
عدد طرق الاختيار = 10 ق ₂ = (10 × 9) / (2 × 1) = 45 طريقة.
رابعاً طلاب كلية الزراعة: عدد الطلاب الؤهلين (ن) = 5
عدد المبعوثين المطلوبين منهم (ر) = 1
عدد طرق الاختيار = 5 ق ₁ = 5 طرق.
عدد طرق اختيار المبعوثين المطلوبين:
= 15 ق ₄ × 20 ق ₃ × 10 ق ₂ × 5 ق ₁
= 1365 × 1140 × 45 × 5 = 350122500 طريقة.

مثال: يراد تشكيل لجنة من عدد 3 فنين، عدد 2 إداريين، فكم لجنة يمكن اختيارها إذا كان عدد الفنيين بالمؤسسة 15، وعدد الإداريين 10؟
عدد الفنيين (ن ₁) = 15 يراد اختيار (ر ₁) = 3 منهم.
عدد طرق الاختيار 15 ق₃.
عدد الإداريين (ن ₂) = 10، يراد اختيار (ر ₂) 2 منهم.
عدد طرق الاختيار = 10 ق ₂ .
وعدد طرق اختيار اللجنة = 15 ق₃ × 10 ق ₂
= ( (15 × 14 × 13) / (3 × 2 × 1) × ( 10 × 9) / (2 × 1))
= 455 × 45 = 20475 طريقة.

التوافيق المقيدة أو المشروطة:

إذا كان هناك (ن) من الأشياء وأردنا اختيار (ر) من هذه الأشياء بحيث يكون هناك شيئاً محدداً بالذات، يجب استبعاد دائماً فإن عدد طرق الاختيار في مثل هذه الحالة.
= ن – 1 ق _ر
وذلك يعني أننا طرحنا الشيء المستعبد من (ن) فقط ولم يطرح (ر)؛ لاننا نعتبر أن الاختيار يتم لـ(ر) من الأشياء من (ن – 1) من الأشياء وليس من (ن) من الأشياء.
لكن إذا أردنا العكس من ذلك أي اختيار (ر) من الأشياء من (ن) من الأشياء بحيث أن شيئاً محدداً بالذات يجب أن يختار في جميع الأحوال فإن عدد طرق الاختيار في هذه الحالة:
= ن – 1 ق _{ر – 1}
ولذلك يعني أننا طرحنا الشيء الذي تم اختياره من كل من (ن) ومن (ر) وذلك لأن اختيار شيئاً محدداً في جميع الأحوال يعني أننا نختار العدد الباقي (ر – 1) من (ن – 1) من الأشيائ فقط.
ونظراً لأنه بالنسبة لشيء محدد إما أن نستبعد أو نأخذ في الاختيار فإننا نجد أن:
[ ن ق _ر = (ن – 1) ق _{ر – 1} + (ن – 1) ق _ر ]
مثال: يتكون مجلس إدارة إحدى المؤسسات الصناعية من ثلاثة عشر عضواً، فما هي عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار لجنة تنفيذية من هذا المجلس تتكون من 6 أشخاص بحيث تشتمل دائماً على رئيس المجلس، وسكرتير المجلس.
عدد أعضاء المجلس (ن) = 13
عدد أعضاء اللجنة التنفيذية (ر) = 6
ونظراً لأن عضوان (رئيس المجلس ، وسكرتير المجلس) دائماً يجب أن تشتمل عليهم اللجنة أي أن يؤخذا في الاختيار دائماً فإن:
عدد طرق الاختيار = ن–2 ق _{ر – 2}
= 13 – 2 ق _{ر6- 2}
= 11 ق ₄
= (11 × 10 × 9 × 8) / (4 × 3 × 2 × 1) = 330 طريقة.