الأهمية التطبيقية للمتتاليات الهندسية

أهمية المتتاليات الهندسية في مادة الرياضيات المالية:

تظهر أهمية المتتالية الهندسية من الناحية التطبيقية في مادة الرياضيات المالية عند دراسة الفائدة والجملة والقيمة الحالية لمبلغ أو للدفعات المؤكدة المتساوية بفائدة مركبة خصوصاً في الحالات التي تكون فيها كل من معدل الفائدة أو المدة غير موجودين أصلاً في الحالات التي تكون فيها كل من معدل الفائدة أو المدة غير موجودين في جدول فائدة مركبة وكذلك استهلاك الأصول ويتضح ذلك فيما يلي:
اذا تم فرض أن رأس المال (أ) ومعدل الفائدة (ع) وعدد سنوات القرض أو الاستثمار (ق) فإذا ما تتبعنا حركة الفائدة المركبة لمبلغ القرض أو الاستثمار فإنه نجد أن:
الفائدة عن السنة الأولى = الأصل × معدل الفائدة × وحدة الزمن (سنة).
ف ₁ = أ × ع × 1 = أع
ونظراً لأنه الفائدة المركبة عن الفترة الزمنية تضاف إلى أصل المبلغ في بداية الفترة التالية وتستثمر بنفس شروط المبلغ الأصلي فإنه:
يكون الأصل في بداية السنة الثانية (أ ₁) = أ + ف ₁.
أ ₁ = أ + أع = أ(1+ ع).
إذاً الفائدة عن السنة الثانية (ف₂) = أ (1 + ع) ع = أع (1 + ع).
ويكون الأصل في بداية السنة الثالثة (أ ₂).
= أ₁ + ف ₂:
أ (1 +ع) + أ (1 + ع) × ع، وبإخراج “أ” عامل مشترك تصبح كالتالي:
أ (1 + ع) (1 + ع) × ع
= أ ع(1 + ع) ²
إذاً الفائدة عن السنة الثالثة (ف ₃) = أ (1 + ع) ²2 × ع
= أع ( 1 +ع ) ²
ويكون الأصل في بداية السنة الثالثة = أ ₂ + ف ₃
أ (1 + ع)² + أع (1 + ع)²
= أ (1 + ع)² ( 1 + ع)²
= أ ( 1 + ع) ³
وهكذا ….. حتى يتم الوصول إلى الأصل في أول السنة الأخيرة والفائدة فيتم إيجاد أن:
أ _{ن -1} = أ (1 + ع) ^{ن – 2} + أع (أ + ع) ^{ن -2}
= أ (1 + ع) ^{ن – 2} (1 + ع)
أ (1 + ع ) ن -1
إذاً الفائدة عن السنة (ف _ق) = أع (1 + ع) ن -1
ويصبح مجموعة الفوائد السنوية عن مدة القرض أو الإستثمار هي:
ف = ف ₁ + ف ₂ + ف ₃ + …… ف _ق
= أ ع+ أ ع(1 + ع) +أ ع (1 + ع) ² + …… أ ع (1 + ع) ^{ن – 1}  
والمقدار داخل القوس عبارة عن متتالية هندسية حدها الأول (1) وأساسها (1 + ع) وعدد حدودها (ق) حداً.
ويصبح مجموعها:

فإذا رمزنا إلى جملة القرض بالرمز (حـ)
الجملة = أصل القرض أو الإستثمار + الفوائد المستحقة خلال القرض حـ = أ + ف

مثال: أودع شخص مبلغ 1000 دينار في بنك الإستثمار بفائدة مركبة لمدة 10 سنوات وذلك بمعدل 10 % سنوياً أوجد الفائدة المستحقة على هذا القرض في تهاية المدة المذكورة.
ف = أ ع

= 100 (1,10) = 110 دينار
ف ₃ = أ ع ( 1 – ع) ²2

= 100 (1,10)²2
= 100 × 1,21 = 121دينار
وهكذا حتى ف₁₀
ف 10 = أ ع (1 -ع) ₉

= 100 × (1,1) 9
= 100 × 2,35795 = 235,795
إذاً ف = ف₁ + ف₂ + ف ₃ + ……….. ف ₁₀
= 100 + 110 + 121 + 133,1 +………… 235,795
= 1593,74