التباديل بين أشياء متشابهة

نبذة عن التباديل:

إذا كانت مجموعة من الأشياء عددها (ن) منها (س) من الأشياء المتشابة تماماً (أي من نوع واحد)، (ص) من الأشياء الأخرى متشابهة تماماً (أي من نوع واحد) ولكنها مختلفة عن النوع الأول، (ع) من الأشياء المتشابهة تماماً(أي من نوع واحد) من نوع ثالث مختلف حيث أن:
ن = س + ص + ع
فإن عدد الترتيبات المختلفة لمثل هذه الأشياء عند أخذها كلها مرة واحدة:

التباديل غير مشروط

مثال: كم عدد طرق ترتيب 10 أشياء إلى ثلاثة مجموعات مأخوذة كلها مرة واحدة بحيث تشتمل المجموعة الأولى 5 منها متشابهة، والثانية على 3 منها متشابهة من نوع آخر، والثالثة على 2 منها متشابهة ومختلفة عن المجموعات الأخرى.
الحل:
س= 5 ، ص = 3 ، ع = 2
ن = س + ص + ع
إذاً ن = 5 + 3 + 2 = 10

مفهوم التباديل المقيد أو المشروط:

هي عداد طرق الإختيار لمجموعة محددة من الأشياء، سواء أخذت كلها أو بعضها في الإختيار في أعتبار التراتيب المختلفة عند الإختيار ولكن تكون محددة بشرط.

مثال: ما هو عدد الأرقام الثلاثية المعنوية التي يمكن تكوينها من الأرقام (0، 1، 2، 4) بدون تكرار (تباديل مقيد أو مشروط)؟
الحل:

• خانة المئات ممكن أن يشغلها أي رقم من الأرقام كلها ما عدا رقم (صفر) لأنه لو شغله فسيكون الرقم المتكون غير ثلاثي وهذا مخالف للشرط الأساسي في الرقم المطلوب، وعليه فيسكون طرق شغل خانة المئات (4 طرق) هي [ (1) أو (2) أو (3) أو (4) ].
  
• بفرض أن خانة المئات شُغلت بالرقم (3) مثلاً، فإن عدد طرق شغل خانة العشرات (4 طرق أيضاً) وهي الأرقام [ (0) أو (1) أو (2) أو (4) ].
  
• بفرض أن خانة العشرات شُغلت بالرقم (4) مثلاً، فإنه لا يتكرر في الخانات الأخرى، وعلى ذلك عند شغلنا لخانة الآحاد (يتم استعباد رقم 3، 4) وبذلك يمكن شغلها بـ (3 طرق) وهي الأرقام [ (0) أو (1) أو(2) ].
  من كل ما تقدم فيكون عدد الأرقام الثلاثية في هذه الحالة:
  = 4 × 4 × 3 = 48 رقماً ثلاثياً
  

يتم حل المثال السابق مع التكرار:

• عدد طرق ملئ خانة المئات لن تختلف (4 طرق) بعد استبعاد (الصفر).
  
• عدد طرق ملئ خانة العشرات سوف يكون (5 طرق) وهي الأرقام كلها دون استثناء.
  
• عدد طرق ملئ خانة الآحاد سوف يكون (5 طرق) وهي الأرقام كلها دون استثناء.
  
• ويكون عدد الأرقام الثلاثية الممكن تكوينها في هذه الحالة:
  = 4 × 5 × 5 = 100 رقماً ثلاثياً.