ما هو التحليل الرياضي؟
يعرف التحليل الرياضي على أنه أحد الفروع الرياضية التي تهتم بعملية البحث وبكل ما يخص الدوال وإمكانية اشتقاق الدالة والاستمرارية ومفاهيم أخرى مختصة في عملية الدراسة على الدوال، كما يتم البحث على هذه الخواص في مجموعة الاعداد الحقيقة أو الأعداد المركبة.
ما هو الدالة؟
الدالة: هي عبارة عن رابطة بين قسمين كل قسم يحتوي على عناصر معينة، حيث إن هذه العلاقة تربط بين عناصر القسميين فيتشكل لدينا ثنائيات و كل ثنائي هو عبارة عن عنصران كل عنصر من قسم معين.
ما هي فروع التحليل الرياضي؟
- التحليل الحقيقي: هو تحليل يتم على مجموعة الأعداد الحقيقية والدوال المرتبطة بها ويتم دراسة كل اقتران بشكل فردي.
- التحليل المركب: هو تحليل يتم على مجموعة الأعداد المركبة والدوال التي ترتبط بها.
- التحليل الدالي: يقوم على دراسة فضاء الدوال في تحليل الدالي، كما يتم دراسة مجموعة من الاقترانات مع بعضها ووكيفيت تأثيرها على الفضاء.
التحليل الحقيقي:
يُعد التحليل الحقيقي من أحد الفروع الرياضية التي تختص بالتعامل مع مجموعة الأعداد الحقيقية والتعامل مع الاقترانات المعرفة على هذه الأعداد، كما يمكن أن يعتبر نسخة دقيقة من علميّ التفاضل والتكامل، حيث يقوم على دراسات المتتاليات ونهايتها واشتقاق الاقترانات وتكامل الاقترانات ومتتاليات الاقتران، حيث نستنتج أن التحليل الحقيقي يعطي نظرية مدققة بخصوص الاقترانات العددية، ويتم من خلاله دراسة نظريات حديثة بموضوع الاقترانات المعممة.
ومن أهم المواضيع التي يقوم عليها التحليل الحقيقي:
- مجموعة الأعداد الحقيقية.
- المتتاليات الحقيقية.
- المتسلسلات الحقيقية.
- نهاية الدوال الحقيقية.
- دوال متصلة حقيقية.
- اشتقاق الدوال الحقيقية.
- تكامل الدوال الحقيقية.
التحليل المركب:
التحليل المركب ويسمى أيضا بالتحليل المعقد، والذي يعرف بشكل مبسط بنظرية التوابع ذات المتحولات المركبة، حيث إن أحد الفروع الرياضية المختصة في دراسة دوال الأعداد المركبة والتحليل المركب، والذي يستخدم بشكل موسع في الرياضيات وبشكل خاص في نظرية الأعداد والرياضيات التطبيقية ويستخدم في علم الفيزياء، وبشكل خاص في الديناميكا الحرارية والهندسة الكهربائية وجريان الموائع.
كما يهتم التحليل المركب بشكل خاص في الدوال التحليلية التي تتكون من متغيرات مركبة، وتسمى بالدوال ذات الشكل. وتعرف الدالة التحليلية بأنها عبارة عن دالة رياضية وتسمى أيضا اقتران تحليلي، مثالا على ذلك: يمكن أن نسمي الدالة د(ص) دالة تحليلية في النقطة ص، إذا تمكنا من تمثيل د(ص) بمتسلسلة تيلور لقوى (ص-ص).
التحليل الدالي:
يمكن تعريف التحليل الدالي على أنه أحد أقسام التحليل الرياضي، حيث أنه يهتم بعملية دراسة الفضاءات للدوال، ومن أهم فروع التحليل الدالي هي دراسة التحولات مثل تحويل فورييه والبحث في المعادلات التفاضلية والتكاملية.
ويمثل التحليل الدالي عملية موسعة ومعممة من التحليل الرياضي التقليدي ويتم من خلال عملية تحويل المفاهيم، التي تظهر على أنها أساسية في التحليل الرياضي التقليدي إلى مفاهيم مجردة، كما يمكن أن يكون لدينا منظومة من المبرهنات، ثم نقوم بإثباتها عن طريق المبرهنات التي تشمل المبرهنات التقليدية. وتظهر لدينا عادة الكثير من النتائج التقليدية ونتائج أخرى لم تصغ من قبل، وتعتبر حالات خاصة من المبرهنات التقليدية، وتظهر عملية الانتقال إلى الصيغة المجردة في حذف العناصر الزائدة في الميرهنة وإظهار العلاقات المخفية وغير متوقعة، ويعمق ذلك عملية فهم النتائج السابقة وعملية التمهيد للتوصل إلى نتائج جديدة.
ويكمن دور التحليل الدالي في عملية تنظيم التحليل الرياضي التقليدي وجعله أكثر وضوحا في ما يخص المسائلة. وتعد الكثير من معادلات التحليل الدالي هي توضيح لمعادلات في مفهوم الجبر المجرد، وتكون مشابهة له من الناحية الشكلية على الأقل. ويشبه علم التحليل الدالي علم الطوبولوجيا ولكن من غير أن نجد حدود واضحة بينهما.
ويعد علم التحليل الدالي نتيجة عن دمج فرعي الجبر والطوبولوجيا، ويمكن توضيح التحليل الدالي على أنه أحد الفروع الرياضية التي تعتمد على وجهة النظر وتعتبر فيه منطلق ومنهج ثابت.
وتعد عملية البحث في الدوال المعممة متعددة الأنواع إحدى الصفات الأساسية والمهمة في بعض أساسيات التحليل الدالي وفي التحليل الرياضي التقليدي، ويمكن لفضاء دوال التي تملك خواص معروفة أن يضم في فضاء أوسع تكون عناصر ذات طبيعة مجردة، بحيث يمكننا من إجراء العمليات التحليلية بطريقة حرة أكثر، وبحيث تكون المبرهنات التحليلية التقليدية بصيغ أبسط.
وهنا سوف نتحدث عن المواضيع التي تخص التحليل الدالي:
- فضاء ال بي .
- فضاء هلبرت.
- فضاء باناخ.
- حساب التغيرات.
