التذبذب المخمد - Damped Oscillation

ما المقصود بالتذبذب المخمد – Damped Oscillation؟

نعلم أنّ الطاقة الإجمالية للمذبذب التوافقي تظل ثابتة، بمجرد أن تبدأ، تستمر التذبذبات إلى الأبد بسعة ثابتة “يتم تحديدها من الظروف الأولية” وتردد ثابت “يتم تحديده بواسطة خصائص القصور الذاتي والمرونة للنظام”، تسمّى الحركات التوافقية البسيطة التي تستمر إلى أجل غير مسمّى دون فقدان السعة بالحرة (free) أو غير المثبطة (undamped).

ومع ذلك، فإنّ مراقبة التذبذبات الحرة لنظام فيزيائي حقيقي تكشف أنّ طاقة المذبذب تتناقص تدريجياً بمرور الوقت وأنّ المذبذب في النهاية يتوقف، على سبيل المثال، سعة تأرجح البندول في الهواء تتناقص بمرور الوقت وتتوقف في النهاية، تتلاشى اهتزازات الشوكة الرنانة مع مرور الوقت، يحدث هذا لأنّ الاحتكاك “أو التخميد” موجود دائمًا في الأنظمة الفيزيائية الفعلية، الاحتكاك يقاوم الحركة.

شرح التذبذب المخمد:

يشير وجود مقاومة للحركة إلى أنّ قوة الاحتكاك أو التخميد تعمل على النظام، تعمل قوة التخميد معارضة للحركة، وتقوم بعمل سلبي على النظام، ممّا يؤدي إلى تبديد الطاقة، عندما يتحرك الجسم عبر وسط مثل الهواء والماء وما إلى ذلك، تتبدد طاقته بسبب الاحتكاك وتظهر كحرارة إمّا في الجسم نفسه أو في الوسط المحيط أو كليهما.

هناك آلية أخرى يفقد بها المذبذب الطاقة، قد تنخفض طاقة المذبذب ليس فقط بسبب الاحتكاك في النظام ولكن أيضًا بسبب الإشعاع، يضفي الجسم المتذبذب حركة دورية لجزيئات الوسط الذي يتذبذب فيه، ممّا ينتج عنه موجات، على سبيل المثال، تنتج الشوكة الرنانة موجات صوتية في الوسط ممّا يؤدي إلى انخفاض طاقتها.

تخضع جميع الأجسام الرنانة لقوى تبديد، أو خلاف ذلك، لن يكون هناك فقدان للطاقة من قبل الجسم، وبالتالي، لا يمكن أن يحدث أي انبعاث للطاقة الصوتية، وبالتالي، يتم إنتاج الموجات الصوتية بواسطة إشعاع من أنظمة تذبذبية ميكانيكية، وأيضًا الموجات الكهرومغناطيسية تنتج عن إشعاعات من تذبذب المجالات الكهربائية والمغناطيسية، إنّ تأثير الإشعاع بواسطة نظام التذبذب والاحتكاك الموجود في النظام هو أنّ سعة التذبذبات تتضاءل تدريجياً مع مرور الوقت، يسمّى انخفاض سعة “أو طاقة” المذبذب بالتخميد ويقال إنّ التذبذب مخمد (damped).

قوى التخميد – Damping Forces:

التخميد في النظام الحقيقي هو ظاهرة معقدة تنطوي على عدة أنواع من قوى التخميد:

• تعارض قوة التخميد حركة الجسم.

• يتناسب حجم قوة التخميد طرديًا مع سرعة الجسم.

• اتجاه قوة التخميد هو عكس السرعة.

• يتم الإشارة إلى قوة التخميد بواسطة (Fd.Fd = – pv) حيث: (v) هو مقدار سرعة الجسم ويمثل (p)، معامل التخميد اللزج، قوة التخميد لكل وحدة سرعة، تشير العلامة السالبة إلى أنّ القوة تعارض الحركة، وتميل إلى تقليل السرعة، بمعنى آخر، قوة التخميد اللزج هي قوة تثبيط.

يشار إلى قوة التخميد التي تعتمد على السرعة باسم قوة التخميد اللزجة، نظرًا لأنّ سرعة معظم أنظمة التذبذب تكون عادةً صغيرة، فمن المحتمل أن تكون قوة التخميد التي يمارسها السائل المتلامس مع النظام لزجة، تكون القوى اللزجة عمومًا أصغر بكثير من قوى القصور الذاتي والمرونة في النظام، ومع ذلك، في بعض الأحيان يتم إدخال أجهزة التخميد التي تسمّى المخمدات بشكل متعمد في نظام للتحكم في الاهتزازات، قد تكون قوة التخميد التي تمارسها هذه الأجهزة قابلة للمقارنة في الحجم مع قوى القصور الذاتي والمرونة.

شرح قوى التخميد:

في الأنظمة الحقيقية، من المحتمل أن يكون الجزء المتحرك ملامسًا لسطح غير مشحم، كما في حالة التذبذبات الأفقية لجسم متصل بنابض، يكون الجسم المتذبذب دائمًا على اتصال بالسطح الأفقي، تعارض قوة الاحتكاك الناتجة الحركة ويمكن غالبًا اعتبارها قوة ذات حجم ثابت، عادةً ما يشار إلى هذه القوة باسم “قوة احتكاك كولوم” (Coulomb friction force)، في مادة صلبة، قد يُفقد جزء من الطاقة بسبب المرونة غير الكاملة أو الاحتكاك الداخلي للمادة، من الصعب تقدير هذا النوع من التخميد، تشير التجارب إلى أنّ قوة مقاومة تتناسب مع السعة ومستقلة عن التردد قد تكون بمثابة تقريب مُرضٍ، يشار إلى هذا النوع من التخميد في المواد الصلبة باسم “التخميد الهيكلي” (structural damping).

وبالتالي، فإنّ التخميد في نظام حقيقي هو ظاهرة معقدة تنطوي على عدة أنواع من قوى التخميد مثل التخميد اللزج، احتكاك كولوم والتخميد الهيكلي، نظرًا لأنّه من الصعب جدًا بشكل عام التنبؤ بحجم قوى التخميد، يتعين على المرء عادةً الاعتماد على الخبرة والتجربة من أجل إجراء تقدير جيد إلى حد معقول، إنّها ممارسة شائعة لتقريب تخميد النظام عن طريق التخميد اللزج المكافئ، لسبب بسيط هو أنّ التخميد اللزج هو الأكثر ملاءمة للتعامل معه رياضيًا، وبالتالي، وفقًا لهذا التقريب، يتم اختيار حجم القوة اللزجة التي سيتم استخدامها في مشكلة معينة ليكون هو الذي ينتج نفس معدل تبديد الطاقة مثل قوى التخميد الفعلية، هذا عادةً ما يوفر تقديرًا جيدًا.

يؤدي تضمين قوى التخميد إلى تعقيد التحليل إلى حد كبير، لحسن الحظ، في الأنظمة الفعلية، تكون قوى التخميد عادةً صغيرة ويمكن تجاهلها في كثير من الأحيان، في المواقف التي لا تكون صغيرة بشكل مهم، فإنّ نموذج التخميد اللزج هو الأكثر ملاءمة رياضيًا، سنستخدم هذا النموذج، في ظل افتراض مبسط أنّ سرعة الجزء المتحرك من النظام صغيرة بحيث تكون قوة التخميد خطية في السرعة، إذا لم تكن السرعة صغيرة، فقد يتم تمثيل قوة التخميد التي تمارس على النظام عن كثب بقوة تتناسب مع مربع السرعة، لن نتعامل مع مثل هذه القوى، يتم تناول تأثير قوة التخميد اللزج الخطي على التذبذبات الحرة للأنظمة البسيطة بدرجة واحدة من الحرية في القسم التالي.

التذبذبات المخففة لنظام له درجة واحدة من الحرية:

سنبحث في تأثير التخميد على التذبذبات التوافقية لنظام بسيط يتمتع بدرجة واحدة من الحرية، لنفترض وجود أحد هذه الأنظمة على سبيل المثال، عندما يتم إزاحة النظام من حالة توازنه وإطلاقه، يبدأ في التحرك، القوى المؤثرة على النظام هي:

قوة الاستعادة (Kx)، حيث (K) هي معامل قوة الاستعادة و(x) هي الإزاحة.

قوة التخميد (−p dx/dt​)، حيث (p) هو معامل قوة التخميد و(dx/dt) هي سرعة الجزء المتحرك من النظام، من قانون نيوتن للجسم الساكن في الحركة الانتقالية، يجب أن تتوازن هذه القوى مع قوة نيوتن (m d²x/dt²) حيث (m) هي كتلة المذبذب و(d²x/dt²) تسارعها، منذ ذلك الحين، تعمل قوة الاستعادة وقوة التخميد في اتجاه معاكس لقوة نيوتن، إذًا لدينا:

m d²x/dt²​= −Kx −p dt/dx​ 

تذكر أنّ هذه المعادلة تنطبق فقط على عمليات الإزاحة الصغيرة والسرعات الصغيرة، يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

d²x/dt²+ γ dx/dt ​+ ω₀²​x = 0

γ = p/m

ω₀²= K/m

لاحظ أنّ الأبعاد:

γ = p/m ​= force​/velocity × mass = MLT⁻²​​/LT^-1M =T^-1

نفس بُعد التردد.

من السهل رؤية ذلك في المعادلة الأولى، يتميز التخميد بالكمية (γ)، التي لها أبعاد التردد، ويمثل الثابت (ω₀) التردد الزاوي للنظام في حالة عدم وجود التخميد ويسمّى التردد الطبيعي للمذبذب، المعادلة الثانية هي المعادلة التفاضلية للمذبذب المخمد، لمعرفة كيف تختلف الإزاحة بمرور الوقت، علينا حل المعادلة مع الثوابت (γ) و(ω₀) المعطاة على التوالي بواسطة المعادلات الثالثة والرابعة.