اقرأ في هذا المقال
- ما هو التسارع الناتج عن الجاذبية؟
- اشتقاق معادلة التسارع الناتج عن الجاذبية
- العوامل المؤثرة بالتسارع الناتج عن الجاذبية
ما هو التسارع الناتج عن الجاذبية؟
التسارع بسبب الجاذبية هو التسارع الذي يكتسبه الجسم بسبب قوة الجاذبية (gravitational force)، وحدة (SI) الخاصة بها هي (m/s2)، لها مقدار واتجاه، وبالتالي فهي كمية متجهة، التسارع بسبب الجاذبية يمثله (g)، القيمة القياسية لـ (g) على سطح الأرض عند مستوى سطح البحر هي (9.8 m/s2).
ما هي الجاذبية – Gravity؟
الجاذبية هي القوة التي تجذب بها الأرض الجسم نحو مركزها، دعونا ننظر في جسمين لهما كتلتين وهي: (ma) و(mb)، في ظل تطبيق قوى متساوية على الجسمين، يتم إعطاء القوة من حيث الكتلة من خلال:
mb = ma [aA/aB]
وهذا ما يسمى بكتلة القصور الذاتي للجسم (inertial mass of a body)، تحت تأثير الجاذبية على الجسمين، يكون التالي:
FA = GMmA/r2
FB = GMmB/r2
mB = [FB/FA] × mA
اشتقاق معادلة التسارع الناتج عن الجاذبية:
الكتلة المذكورة أعلاه تسمّى كتلة الجاذبية للجسم (gravitational mass)، وفقًا لمبدأ التكافؤ (principle of equivalence)، فإنّ كتلة القصور الذاتي وكتلة الجاذبية متطابقة، سنستخدم هذا المبدأ أثناء اشتقاق التسارع بسبب الجاذبية الموضحة أدناه، لنفترض أنّ جسمًا له كتلة الاختبار (m)، قد سقط من ارتفاع (h)، فوق سطح الأرض، كتلة المصدر (M)، ويبدأ في التحرك لأسفل مع زيادة السرعة حيث يقترب من سطح الأرض.
نحن نعلم أنّ سرعة الجسم تتغير فقط تحت تأثير القوة، وفي هذه الحالة، تنتج لدينا القوة عن الجاذبية، تحت تأثير قوة الجاذبية، يبدأ الجسم بالتسارع باتجاه مركز الأرض الذي يقع على مسافة (r) من كتلة الاختبار، وبالتالي يكون:
ma = GMm/r2 (Applying principle of equivalence)
a = GM/r2
يعود سبب التسارع أعلاه إلى جاذبية الأرض لذلك نسميها التسارع بسبب الجاذبية، ولا تعتمد على كتلة الاختبار، تبلغ قيمته بالقرب من سطح الأرض (9.8 ms-2)، لذلك، يتم إعطاء التسارع بسبب الجاذبية (g) بواسطة الوحدة الدولية = (GM/r2).
معادلة التسارع الناتج عن الجاذبية:
تُعطى القوة المؤثرة على الجسم بسبب الجاذبية بواسطة المعادلة (f = mg)، حيث: (f) هي القوة المؤثرة على الجسم، و(g) هي التسارع بسبب الجاذبية، و(m) كتلة الجسم، وفقًا لقانون الجاذبية العام:
f = GmM/(r+h)2
حيث:
f – هي القوة بين جسمين.
G – ثابت الجاذبية العام (6.67×10-11 Nm2/kg2).
m – تساوي كتلة الجسم.
M – هي كتلة الأرض.
r – نصف قطر الأرض.
h – الارتفاع الذي يكون عنده الجسم من سطح الأرض.
نظرًا لأنّ الارتفاع (h) صغير بشكل مهم مقارنة بنصف قطر الأرض، فإنّنا نعيد صياغة المعادلة على النحو التالي:
f = GmM/r2
الآن معادلة كلا التعبيرين:
mg = GmM/r2
g = GM/r2
لذلك، تُعطى صيغة التسارع بسبب الجاذبية بالصيغة: (g = GM/r2)، ملاحظة: يعتمد ذلك على كتلة الأرض ونصف قطرها، يساعدنا هذا في فهم ما يلي:
- تعاني جميع الأجسام من نفس التسارع بسبب الجاذبية، بغض النظر عن كتلتها.
- تعتمد قيمته على كتلة الأرض وليس كتلة الجسم.
التسارع بسبب الجاذبية على سطح الأرض:
من المفترض أن تكون الأرض كرة صلبة منتظمة ذات كثافة متوسطة، نحن نعلم أنّ:
Density = mass/volume
الكثافة = الكتلة / الحجم
ρ = M/[4/3 πR3]
M = ρ × [4/3 πR3]
نحن نعلم أنّ:
g = GM/R2
عند استبدال قيم (M) نحصل على:
g = 4/3 [πρRG]
في أي مسافة (r) من مركز الأرض، تكون (g = 4/3 [πρRG]).
العوامل المؤثرة بالتسارع الناتج عن الجاذبية:
تتأثر قيمة التسارع بسبب الجاذبية (g) بـالتالي:
الارتفاع فوق سطح الأرض:
ضع في اعتبارك كتلة اختبار (m) على ارتفاع (h) من سطح الأرض، الآن، القوة المؤثرة على كتلة الاختبار بسبب الجاذبية هي:
F = GMm/(R+h)2
حيث: (M) هي كتلة الأرض، و (R) هي نصف قطر الأرض، التسارع الناتج عن الجاذبية على ارتفاع معين هو (h) إذن:
mgh= GMm/(R+h)2
gh= GM/[R2(1+ h/R)2 ]
يتم إعطاء التسارع الناتج عن الجاذبية على سطح الأرض بواسطة:
g = GM/R2
عند قسمة المعادلة (3) و (2) نحصل على:
gh = g (1+h/R)-2
هذا هو التسارع الناتج عن الجاذبية على ارتفاع فوق سطح الأرض، بمراقبة الصيغة أعلاه يمكننا القول أنّ قيمة (g) تتناقص مع زيادة ارتفاع الجسم وتصبح قيمة (g) صفرًا على مسافة لا نهائية من الأرض.
العمق تحت سطح الأرض:
ضع في اعتبارك كتلة اختبار (m) تم أخذها إلى مسافة (d) تحت سطح الأرض، يتم الحصول على التسارع الناتج عن الجاذبية تلك النقطة (gd) بأخذ قيمة (g) من حيث الكثافة، على سطح الأرض، يتم إعطاء قيمة (g) بواسطة:
g = 4/3 × πρRG
على مسافة (d) تحت سطح الأرض، يتم إعطاء التسارع بسبب الجاذبية:
gd = 4/3 × πρ × (R – d) G
عند قسمة المعادلات أعلاه نحصل على:
gd = g (R – d)/R
- عندما يكون العمق (d = 0)، فإنّ قيمة (g) على سطح الأرض (gd = g).
- عندما يكون العمق (d = R)، فإنّ قيمة (g) في مركز الأرض (gd = 0).
شكل الأرض:
نظرًا لأنّ الأرض كروية، فإنّ نصف قطرها بالقرب من خط الاستواء يزيد عن نصف قطرها بالقرب من القطبين، بما أنّ التسارع الناتج عن الجاذبية بالنسبة لكتلة المصدر يتناسب عكسياً مع مربع نصف قطر الأرض، فإنّه يختلف باختلاف خط العرض بسبب شكل الأرض.
gp/ge = R2e/R2p
حيث: إنّ (ge) و(gp) هما التسارعان بسبب الجاذبية عند خط الاستواء والقطبين، فإنّ (Re) و(Rp) هما نصف قطر الأرض بالقرب من خط الاستواء والقطبين، على التوالي، من المعادلة أعلاه، يتضح أنّ التسارع الناتج عن الجاذبية يكون أكثر عند القطبين وأقل عند خط الاستواء، لذلك إذا انتقل الشخص من خط الاستواء إلى القطبين، ينخفض وزنه مع انخفاض قيمة (g).
الحركة الدورانية للأرض:
ضع في اعتبارك أن كتلة الاختبار (m) على خط عرض تصنع زاوية مع خط الاستواء، عندما يكون الجسم تحت الدوران، فإنّ كل جسيم صغير في الجسم يقوم بحركات دائرية حول محور الدوران، في الحالة الحالية، الأرض تحت الدوران بسرعة زاويّة ثابتة (ω)، ثمّ تتحرك كتلة الاختبار في مسار دائري نصف قطره (r) بسرعة زاويّة (ω).
هذه هي حالة الإطار المرجعي غير القصور الذاتي، لذلك توجد قوة طرد مركزي على كتلة الاختبار (mrω2)، تعمل الجاذبية على كتلة الاختبار باتجاه مركز الأرض (mg)، نظرًا لأنّ كلتا هاتين القوتين تعملان من نفس النقطة، تُعرف هذه القوى بالقوى الأولية المشتركة، (co-initial forces)، وبما أنّها تقع على طول نفس المستوى، يُطلق عليها اسم “القوات المشتركة” (co-planar forces).
نعلم من قانون متوازي الأضلاع للمتجهات، أنّه إذا كان متجهان متحدان يشكلان جانبين من متوازي أضلاع، فإنّ ناتج هذين المتجهين سيكون دائمًا على طول قطري متوازي الأضلاع، بتطبيق قانون متوازي الأضلاع للمتجهات نحصل على مقدار القيمة الظاهرية لقوة الجاذبية عند خط العرض:
(mg′)2 = (mg)2 + (mrω2)2 + 2(mg) (mrω2) cos(180 – θ)
نعلم أنّ (r)، هو نصف قطر المسار الدائري و (R)، هو نصف قطر الأرض، ثمّ (r = Rcosθ)، باستبدال (r = R cosθ)، نحصل على:
g′ = g – Rω2cos2θ
حيث (g ′) هي القيمة الظاهرة للتسارع بسبب الجاذبية على خط العرض بسبب دوران الأرض و(g) هي القيمة الحقيقية للجاذبية عند خط العرض دون النظر إلى دوران الأرض:
At poles, θ = 90°⇒ g’ = g
At the equator, θ = 0° ⇒ g′= g – Rω2
