التفاضل الجزئي

المشتقة الجزئية الأولى:

هناك دوال بسيطة، وفيها يكون المتغير التابع (ص) دالة في متغير واحد مستقل (س)، كما أن هناك دوال متعددة المتغيرات وفيها يكون المتغير التابع (ص) دالة في متغيرين أو اكثر مستقلة.
فإذا كانت ص دالة في متغيرين (س، ع) مثلاً فإننا نرمز لها بالعلاقة ص = د (س، ع، ل،….م) .
وفي الحياة العملية من النادر أن ترتبط ص في تغيرها بمتغير واحد مستقل ولكن الشائع أن ترتبط ص في تغيرها بأكثر من متغير مستقل فمثلاً التكاليف الكلية دالة في عدة متغيرات منها كمية الإنتاج وأسعار عوامل الإنتاج.
فإذا كانت ص = د (س، ع) فإن قيمة ص تتغير بتغير (س) عند قيمة معينة، فإنه عند زيارة المتغير (س) إلى (س+ Δ س) فإن (ص) تزيد بالتالي إلى (ص + Δ ص) بحيث يكون:

فإن النهاية السابقة يطلق عليها المشتقة الجزئية الأولى للمتغير ص بالنسبة إلى المتغير س ويرمز لها بالرمز:

وهي تفاضل ص بالنسبة إلى س مع معاملة ع معاملة المقدار الثابت وليس متغيراً.
وبنفس الطريقة فإن المشتقة الجزئية للمتغير (ص) بالنسبة إلى المتغير المستقل (ع) عند تثبيت المتغير المستقل الآخر (س) ونرمز لها بالرمز:

المشتقة الجزئية الثانية:

كل مشتقة جزئية أولى عبارة عن دالة في كل أو بعض المتغيرات المستقلة، ويمكن إبجاد المشتقة الجزئية الثانية لمثل هذه المتغيرات المستقلة.
فإذا كان لدينا دالة لأكثر منن متغيرين ولتكن:
ص = د(س، ع، ل) مثلاً فإنه يمكن إيجاد المشتقات الجزئية الأولى والثانية كما يلي:
يمكن إيجاد عدد من المشتقات الجزئية الأولى مساوياً لعدد متغيرات الدالة (ص) بالنسبة لكل متغير المستقله (س، ع، ل) كما يلي:

فإذا أعدنا مفاضلة المشتقات الجزئية الأولى تفاضلاً جزئياًَ نحصل على المشتقات الجزئية الثانية، وعلية فإذا فاضلنا المشتقات الجزئية في المجموعة (1) السابقة تفاضلاً جزئياً بالنسبة المتغير المستقل الأول (س) فإننا سنحصل على:

وإذا فاضلنا المشتقات الجزئية الأولى في المجموعة (1) السابقة تفاضلاً جزئياً بالنسبة للمتغير المستقل الثاني (ع) فإننا سنحصل على:

أما إذا فاضلنا الجزئية الأولى في المجموعة (1) السابقة تفاصلاً جزئياً بالنسبة للمتغير المستقل الثالث (ل) فإننا سنحصل على:

ويمكننا ترتيب المشتقات الجزئية الثانية السابقة إلى (س، ع، ل) كما جاءت في المجموعات (2، 3، 4) في شكل مصفوفة يطلق عليها مصفوفة هيس كالآتي:

وهي مصفوفة متماثلة حيث أن مبدأها (أَ) هو نفس المصفوفة (أ).