مفاهيم رياضية في التفاضل

التفاضل:

يُعدّ التفاضل علم قياس التغيرات التي يمكن أن تحدث في دالة ما نتيجة لحدوث تغير طفيف في قيمة المتغير المستقل.

التغير (Change):

إذا ارتفع انتاج عامل من س إلى س₂ نتيجة التغير في وقت العمل مثلاً، فإننا نطلق (س ₂ _ س ₁) بالتغير في الإنتاج، وبالمثال إذا انخفض إنتاج عامل من س₁ إلى س₂ نتيجة التغير في وقت العمل فإننا نطلق أيضاً على (س₁ _ س₂) بالتغير في الإنتاج ويعني ذلك أن التغير في الإنتاج قد يكون موجباً إذا كانت س ₂ > س ₁ بينما يكون هذا التغير سالباً إذا كانت س ₁ > س ₂.
فمثلاً إذا ارتفع إنتاج عامل من 90 وحدة إلى 100 وحدة نتيجة التغير في وقت عمله، فإن التغير في إنتاجيه (100 – 90) = 10 وحدات، بينما إذا انخفض إنتاج نفس العامل من 90 وحدة إلى 70 وحدة نتيجة التغير في وقت عمله فإن التغير في انتاجه (70 – 90) = – 20 وحدة أيضا وعموماً إذا كانت س أحد المتغيرات وتغيرت قيمته من س ₁ عند نقطة زمنية معينة إلى س ₂ عند نقطة زمنية أخرى فإن مقدار الفرق (س ₂ _ س ₁) يطلق عليها بالتغير ويرمز له بالرمو (Δس).
إذاً التغير في س = قيمة س عند نهاية نقطة التغير – قيمة س عند بداية نقطة التغير أي أن التغير في س = س₂ _س₁
إذاً Δ س = س ₂ _ س ₁………………………..(1)

التغير في الدالة (Change in function):

لتكن ص = د (س) وتغيرت س من س ₁ إلى س ₂ فإن ص = د (س) تتغير هي الأخرى بالتبعية من د (س ₁) إلى د (س ₂)، ويطلق على مقدار الفرق بين [ د (س ₂) – د (س ₁)] بالتغير في الدالة ص ويرمز له بالرمز (Δ ص) حيث:
Δ ص = د (س ₂) – د (س ₁)………………………..(2)
ومن القانون (1) والقانون (2) فإن:
Δ ص = د (س ₁ + Δ س) – د (س ₁)………………………..(3)
فمثلاً العلاقة بين مساحة المربع، ليكن ص، وبين طول ضلعه وليكن س علاقة دالية وتكون على الصورة:
ص أي د (س) =  س ²
فإذا أخذ س (طول ضلع) القيمة 5 سم فيكون مساحة المربع ص أي د (س) =  5 ² = 25  سم ²، فإذا زاد طول الضلع من 5 سم إلى 6 سم فإن مساحة المربع تتغير إلى ص أي د (س ₂) = 6 ² = 36 سم ²، وبالطبع زادات المساحة هنا بسبب زيادة طول الضلع من 5 سم إلى 6 سم أي بقيمة سم واحد، فقد بلغت الزيادة المساحة هنا ( 36 – 25) بمقدار 11 سم ².
أي أن:
Δ ص = د (س ₂) – د (س ₁)
= 36 – 25
= 11 سم ²

معدل التغير في الدالة (Rate of change of function):

إذا كانت ص = د (س) فإن معدل التغير في ص بالنسبة إلى س يكون (Δ ص / Δ س) ففي مثل التغير في المساحة المربع السابق نجد أن:
س(طول الضلع) تغير من 5 سم إلى 6 سم أي Δ س = 6 – 5 = 1 سم
وتبع التغير في س تغير آخر في ص (مساحة المربع) من 25  سم ² إلى 36  سم ² أي Δ ص = 36 – 25 = 11 سم ²
وعليه فإن معدل التغير في دالة مساحة المربع (ص) بالنسبة إلى طول ضلعة (س) = (Δ ص / Δ س) أي = ( 11 / 1) = 11

قياس معدل التغير عند نقطة:

تظهر أهمية هذا المقاس في تطبيقات عملية كثيرة، لأننا في كثير من الأحوال، قد نرغب في قياس معدل التغير في الدالة عند لحظة معينة وعند أي نقطة محددة، بدلاً من قياس معدل التغير خلال فترة محددة.
وقد وضح لنا في المثال مساحة المربع السابق عند تحليل معدل التغير في الدالة خلال فترة، حقيقة هامة وهي أن المعدل الذي تزداد به مساحة المربع بالنسبة لزيادة طول الضلع بقدار وحدة، ليس معدل ثابتاً وانما هذا المعدل هو الآخر في حالة التغير مستمر، ويتوقف على البعد س الذي نبدأ منه الزيادة، وهذه الحقيقة العامة بالنسبة لجميع وكافة الدوال بصفة عامة وعلى هذا الأساس فليس من المناسب أن تكون (Δ ص / Δ س) معدل التغير في صفة عامة، بل إذا راعينا الدقة فيجب أن نقول نعدل عند نقطة معينة.
فإذا كانت ص = د (س)
حيث ص هو التغير التابع، س هو المتغير المستقل، وكانت ص دالة متصلة (مستمرة) في س في فترة معينة وبفرض أن تغير طفيفاً طرأ على قيمة (س) فقد رمزنا لهذا التغير بالرمز (Δ س) أي أن س تصبح (س + Δ س) فإنه تبعاً للتغير في س يحدث تغيراً طفيفاً أيضاً ف (ص) وليكن (Δ ص) فيكون معدل التغير = (Δ ص / Δ س) (أي نسبة التغير في ص إلى التغير في س) فإذا صغرت قيمة (Δ س) صغراً لا نهائياً حتى تؤول في النهاية إلى صفر فإن نهاية النسبة (Δ ص / Δ س) عندا تؤول (Δ س) إلى صفر يطلق عليه معدل التغير اللحظي في الدالة (ص) بالنسبة إلى المتغير المستقل (س) أي:

وتمثل تفاضل ص بالنسبة إلى س:
ويجب أن يكون مفهوماً المقدار:

لا يعبر عن نسبة في قيمتين إن كان على شكل كسر وإنما هو مقدار أو رمز واحد لا يتجزأ ناتج عن عملية رياضية معينة تتم على الدالة وهي:

ولذالك فأحياناً هذا الرمز إحدى الصور التالية:
أما د ′ (س) أو ص ′.
كما يطلق على د ′ (س) معدل التغير اللحظي أو المعامل التفاضلي الأول أو المشتقة الأولى للدالة ص بالنسبة إلى المتغير س.