العد والقياس والدقة

قياس عدم اليقين والدقة:

العد هو النوع الوحيد من القياس الخالي من عدم اليقين، بشرط ألا يتغير عدد العناصر التي يتم عدها أثناء إجراء عملية العد، ونتيجة قياس العد هذا هو مثال على الرقم الدقيق، فإذا عددنا البيض في كرتون، فإننا نعرف بالضبط عدد البيض الذي يحتويه الكرتون، فأعداد الكميات المحددة دقيقة أيضًا.

بحكم التعريف، فإن 1 قدم هو بالضبط 12 بوصة، 1 بوصة بالضبط 2.54 سم، و 1 جرام بالضبط 0.001 كجم، والكميات المشتقة من القياسات غير العد، ومع ذلك غير مؤكدة بدرجات متفاوتة بسبب القيود العملية لعملية القياس المستخدمة.

أرقام مهمة في القياس:

إن أعداد الكميات المقاسة، على عكس الكميات المحددة أو المحسوبة مباشرة، ليست دقيقة، إذ أن لقياس حجم السائل في أسطوانة متدرجة، يجب أن تقوم بقراءة أسفل الغضروف المفصلي، وهي أدنى نقطة على السطح المنحني للسائل، ففي أسطوانة مدرجة 25 مليلتر مملوءة بنحو 20.8 مليلتر من السوائل، وهو السطح المنحني للماء الذي يمكن رؤيته عند رؤية الأسطوانة المتدرجة من الجانب، حيث نقوم بالقراءة عند أدنى نقطة من منحنى الغضروف المفصلي.

يقع الجزء السفلي من الغضروف المفصلي في هذه الحالة بوضوح بين العلامات 21 و 22، مما يعني أن حجم السائل بالتأكيد أكبر من 21 مل ولكنه أقل من 22 مل، ويبدو أن الغضروف المفصلي أقرب قليلاً إلى علامة 22 مل من علامة 21 مل، وبالتالي فإن التقدير المعقول لحجم السائل سيكون 21.6 مل، وفي الرقم 21.6 ، إذن، الرقمان 2 و 1 مؤكدان، لكن الرقم 6 هو تقدير.

قد يقدّر بعض الأشخاص أن موضع الغضروف المفصلي يكون على مسافة متساوية من كل من العلامات ويقدر الرقم العاشر على أنه 5، بينما قد يعتقد البعض الآخر أنه أقرب إلى علامة 22 مل ويقدر هذا الرقم ليكون 7، للملاحظة أنه سيكون من غير المجدي محاولة تقدير رقم لمكان المئات، بالنظر إلى أن خانة العشر غير مؤكدة.

بشكل عام، ستسمح المقاييس العددية مثل المقياس الموجود على هذه الأسطوانة المتدرجة بالقياسات حتى عُشر تقسيم أصغر مقياس، يحتوي المقياس في هذه الحالة على أقسام سعة 1 مل، وبالتالي يمكن قياس الأحجام إلى أقرب 0.1 مل.

ينطبق هذا المفهوم على جميع القياسات، حتى لو لم تقم بعمل تقدير بشكل نشط، مثلا إذا وضعت ربعًا على ميزان إلكتروني قياسي، فيمكنك الحصول على قراءة تبلغ 6.72 جم، يكون الرقمان 6 و 7 مؤكدان، ويشير الرقم 2 إلى أن كتلة الربع من المحتمل أن تكون بين 6.71 و 6.73 جرام.

يزن الربع حوالي 6.72 جرام مع عدم يقين اسمي في القياس ± 0.01 جرام، إذا قمنا بوزن الربع بميزان أكثر حساسية، فقد نجد أن كتلته تساوي 6.723 جم، وهذا يعني أن كتلته تقع بين 6.722 و 6.724 جرامًا، وهي درجة عدم يقين قدرها 0.001 جرام.

كل قياس له بعض عدم اليقين، والذي يعتمد على الجهاز المستخدم (وقدرة المستخدم)، جميع الأرقام في القياس، بما في ذلك الرقم الأخير غير المؤكد، تسمى أرقامًا معنوية أو أرقامًا ذات دلالة، نلاحظ أن الصفر قد يكون قيمة مُقاسة؛ على سبيل المثال، إذا كنتا نقف على ميزان يظهر الوزن لأقرب باوند ويظهر “120”، فإن 1 (مئات) و 2 (عشرات) و 0 (واحد) كلها قيم مهمة (مقاسة)، فكلما قمنا بإجراء القياس بشكل صحيح، فإن جميع الأرقام في النتيجة مهمة.

عدد الأرقام المهمة غير مؤكد في رقم ينتهي بصفر على يسار موقع الفاصلة العشرية، إذ يمكن أن تكون الأصفار في القياس 1300 جرام مهمة أو يمكن أن تشير ببساطة إلى مكان العلامة العشرية، كما يمكن حل الغموض باستخدام التدوين الأسي: 1.3 × 10³ (رقمان مهمان)، 1.30 × 10³ (ثلاثة أرقام معنوية، إذا تم قياس خانة العشرات)، أو 1.300 × 10³ (أربعة أرقام معنوية، إذا كانت خانة الآحاد تم قياسه أيضًا).
في الحالات التي يكون فيها الرقم المنسق عشريًا فقط، من الحكمة افتراض أن جميع الأصفار اللاحقة ليست مهمة، يستخدم هذا الرقم مثال 1300 جرام، بحيث واحد و3 هما رقمان مهمان لأنه من الواضح أنهما نتيجة القياس، ويمكن أن يكون الأصفار 2 مهمًا إذا تم قياسهما أو يمكن أن يكونا عناصر نائبة.

عند تحديد الأرقام المهمة، نتأكد من الانتباه إلى القيم المبلغ عنها والتفكير في القياس والأرقام المهمة من حيث ما هو معقول أو محتمل عند تقييم ما إذا كانت القيمة منطقية، وعلى سبيل المثال، أفاد التعداد الرسمي لشهر يناير 2014 أن عدد السكان المقيمين في الولايات المتحدة هو 317،297،725.

لا يعتقد أن عدد سكان الولايات المتحدة قد تم تحديده بشكل صحيح وفقًا للأرقام التسعة الهامة المبلغ عنها، أي إلى العدد الدقيق للأشخاص، لانه يولد الناس باستمرار أو يموتون أو ينتقلون إلى البلاد أو خارجها، ويتم وضع افتراضات لحساب العدد الكبير من الأشخاص الذين لم يتم حسابهم في الواقع.

بسبب حالات عدم اليقين هذه، قد يكون من المعقول توقع أننا نعرف عدد السكان ربما في حدود مليون أو نحو ذلك، وفي هذه الحالة يجب الإبلاغ عن عدد السكان 3.17 × 10⁸ شخص.

أرقام مهمة في الحسابات:

المبدأ الثاني المهم لعدم اليقين هو أن النتائج المحسوبة من القياس تكون على الأقل غير مؤكدة مثل القياس نفسه، يجب أن نأخذ عدم اليقين في قياساتنا في الاعتبار لتجنب تحريف عدم اليقين في النتائج المحسوبة.

تتمثل إحدى طرق القيام بذلك في الإبلاغ عن نتيجة عملية حسابية بالعدد الصحيح للأرقام المعنوية، والتي يتم تحديدها من خلال القواعد الثلاثة التالية لتقريب الأرقام: عندما نجمع أو نطرح أرقامًا، يجب أن نقرب النتيجة إلى نفس عدد المنازل العشرية مثل الرقم الذي يحتوي على أقل عدد من المنازل العشرية (أقل قيمة دقيقة من حيث الجمع والطرح).

عندما نضرب الأرقام أو نقسمها، يجب أن نقرب النتيجة إلى نفس عدد الأرقام مثل الرقم الذي يحتوي على أقل عدد من الأرقام المعنوية (أقل قيمة دقيقة من حيث الضرب والقسمة)، فإذا كان الرقم المطلوب إسقاطه (الرقم الموجود مباشرة على يمين الرقم المطلوب الاحتفاظ به) أقل من 5 ، فإننا “نقرب لأسفل” ونترك الرقم المحتفظ به دون تغيير ؛ إذا كان العدد أكبر من 5، فإننا “نقرب” ونزيد الرقم المحتجز بمقدار 1؛ إذا كان الرقم المسقط هو 5 متبوعًا بالأصفار فقط أو لا شيء، فإننا نقرب لأعلى أو لأسفل، أيهما ينتج قيمة زوجية للرقم المحتفظ به.

إذا اتبعت أي أرقام غير صفرية الرقم 5 ، فقم بالتقريب، (قد يبدو الجزء من هذه القاعدة حول الرقم 5 غريبًا بعض الشيء، ولكنه يعتمد على إحصائيات موثوقة ويهدف إلى تجنب أي تحيز عند إسقاط الرقم “5”، نظرًا لأنه قريب بنفس القدر من القيمتين المحتملتين للقيمة المحتجزة رقم).