الفرق بين مكعبين

مفهوم الفرق بين مكعبين:

الفرق بين مكعبين: هو عبارة عن طرح عدد أو متغير مرفوع للأس 3 من عدد أو متغير آخر مرفوع للأس 3 ويكتب على هذا الشكل ص³ – س³.

القانون العام للفرق بين مكعبين:

القانون العام للفرق بين المكعبين: هو القانون المستخدم لتحليل الفرق بين مكعبين، يمكن استخدامه في حال كان لدينا حد ثالث (مكعب) فباستخدام هذا القانون نقوم أولاً بإيجاد الفرق بين أول حدين، ومن ثمّ تعويض الناتج في المعادلة الرئيسية، ومن ثمّ اختصار المعادلة وإيجاد الحل النهائي وهو كالآتي:

قانون الفرق بين مكعبين هو:
س³ – ص³ =  (س – ص ) (س² + س ص + ص²).

ويمكن كتابته بالكلمات كالتالي: الفرق بين مكعبين = (الجذر التكعيبي للحد الأول – الجذر التكعيبي للحد الثاني) × (مربع الجذر التكعيبي للحد الأول + حاصل ضرب الجذر التكعيبي للحد الأول في الجذر التكعيبي للحد الثاني + مربع الجذر التكعيبي للحد الثاني).

خطوات تحليل الفرق بين مكعبين:

عند القيام بتحليل الفرق بين مكعبين يجب التحقق بالبداية من أنّ المقدار أو التعبير مكتوب على الصورة العامة لقانون الفرق بين مكعبين، ثمّ يتم تحليله باستخدام الخطوات الآتية بحيث يكون لكل قوس من القوسين خطوات معينة:

القوس الأول:

• يجب أن يتم التأكد من عدم وجود عامل مشترك بين الحدين، وفي حال وجوده يجب إخراجه أولاً.
  
• نقوم بفتح قوسين، بحيث أن تكون العلاقة بينهما هي الضرب: ( ) × ( )، مع ضرورة كتابة العامل الذي تم إخراجه في الخطوة الأولى خارج القوسين، وضربه بهما.
  
• نكتب في القوس الأول إشارة طرح، وفي القوس الثاني إشارتا جمع: ( – )×( + + ).
  
• نقوم بحساب الجذر التكعببي للحد الأول وكتابته دونَ إشارة في القوس الأول قبل إشارة الطرح.
  
• نقوم بحساب الجذر التكعببي للحد الثاني وكتابته دون إشارة في القوس الأول بعد إشارة الطرح:
  (س – ص) × ( + + ).
  

القوس الثاني:

• يتم تربيع الجذر التكعيبي للحد الأول: (س)²، ثم يكتب في القوس الثاني قبل إشارة الجمع الأولى،
  (س – ص)×( س² + + ).
  
• يتم إيجاد حاصل ضرب الحد الأول في الحد الثاني: س × ص، ويكتب ناتج الضرب في القوس الثاني بينَ إشارتي الجمع: (س – ص) × (س² + (س × ص) + ).
  
• يتم تربيع الجذر التكعبيبي الحد الثاني: (ص)²، ويكتب في القوس الثاني بعد إشارة الجمع الثانية:
  (س – ص) × (س² + (س × ص) + ص²).
  
• وبهذا يكون الشكل النهائي للقوسين هو: (س³ – ص³) = (س – ص) × ( س² + (س × ص) + ص²).
  

أمثلة على الفرق بين مكعبين:

المثال الأول: قم بتحليل المقدار الآتي س³-27 من خلال قانون الفرق بين مكعبين:

الحل: حسب قانون الفرق بين مكعبين: س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)، يكون الناتج:
س³ – 27= (س – 3)(س² + 3س + 9).

المثال الثاني: حلل المقدار التالي (64-125) من خلال قانون الفرق بين مكعبين:

الحل: يمكن كتابة المسألة على صورة: 64 – 125= (4)³-(5)³
باستخدام الصيغة العامة للفرق بين مكعبين والتعويض فيها لينتج أنّ:
(4)³ – (5)³= (4 – 5) × ((4)² + (4 × 5) + (5)²).
(4)³ – (5)³ = (1-) × (16 + 20 + 25)= -61.

المثال الثالث: حلل المقدار التالي (س³-8) من خلال قانون الفرق بين مكعبين:

الحل: حسب قانون الفرق بين مكعبين: س³ – ص³ = (س – ص )(س² + س ص + ص²)،
يكون الناتج: س³ – 8 = (س – 2)(س² + 2س + 4).