القواعد الخاصة بالتفاضل

المشتقة الأولى للكمية الثابتة:

إذا كانت ص = ك (حيث ك عدد ثابت) فإن:

الإثبات:
المنحنى الممثل للدالة ص = ك هو خط مستقيم يوازي محور السينات وعلى بعد منه لمسافة = ك، وعليه فإن لجميع قيم س تكون الدالة ص = ك، أي بغض النظر عن قيمة س، حيث أنه تغيرت قيمة س إلى س + Δ س فإن قيمة ص تبقى ثابته = ك.
وبمعنى آخر فإن:
Δ ص = صفر
ومنها (Δ ص / Δ س) = صفر
وبالتالي:

لذا فإن المشتقة التفاضلية الأولى لأي مقدار ثابت = صفر

المشتقة الأولى للدالة الخطية:

إذا كانت ص = أ س + ب فإن:

حيث أ هو ميل الخط المستقيم في الدالة المشار إليها.
إذا كانت ص = 25 س + 40 فأوجد المشتقة الأولى لهذه الدالة:
صَ= أ = 25
إذا كانت ص تمثل الاستهلاك مثلاً، س تمثل الدخل فإن ص′ = أ وهذا يمثل الزيادة في الاستهلاك نتيجة لزيادة وحدة ضئيلة في الدخل، أي أن الميل الحدي للاستهلاك يساوي ميل الخط المستقيم الذي يمثل دالة الاستهلاك.

المشتقة الأولى للدالة على صورة (س ن):

إذا كانت ص = س ^ن فإن:
صَ = ن س ^{ن – 1}
وذلك لجميع قيم ن (الصحيحة والكسرية الموجبة والسالبة) ما عدا ن = صفر.
الإثبات:
إن حدوث أي تغير طفيف ولكن (Δ س) على (س) يقابله تغير طفيف (Δ ص) على (ص) أي أن:
Δ ص = (س + Δ س) ^ن – س ^ن وبقسمة الطرفين على Δ س

المشتقة الأولى لحاصل ضرب ثابت في دالة:

إذا كانت ص = ك ×  س ^ن (حيث ك قيمة ثابته) فإن:
صَ = المقدار الثابت × المشتقة التفاضلية الأولى للدالة أي أن:
صَ = ك × ن س ^{ن- 1}
الإثبات:
عندما تتغير (س) إلى (س + Δ س) فإن (ص) تتغير بالتبعية إلى (ص + Δ ص)
حيث:
Δ ص = ك د (س + Δ س) – ك د(س)

المشتقة الأولى لمجموع (أو فرق) دالتين:

إذا كانت الدالة ص = ص ₁ ± ص ₂ ……………(1).

الإثبات:
إذا زادت (س) بمقدار (Δ س) فإن كلاً من ص، ص ₁، ص ₂ ستزيد بالمقادير (Δ ص)، (Δ ص ₁)، (Δ ص ₂) على الترتيب أي أن:
Δ ص = Δ ص ₁ ±  Δ ص ₂ … وبقسمة الطرفين على Δ س

أي أن مشتقة المجموع (أو الفرق) لدالتين = المجموع (أو الفرق) لمشتقيهما.

المشتقة الأولى لحاصل ضرب دالتين:

إذا كانت ص = ص ₁ × ص ₂ ………………(1)
فإن:

صَ = الدالة الأولى × مشتقة الدالة الثانية + الدالة الثانية × مشتقة الدالة الأولى.
الإثبات
إذا زادت (س) بمقدار (Δ س) فإن كلاً من ص، ص ₁، ص ₂ ستزيد بالمقادير (Δ ص)، (Δ ص ₁)، (Δ ص ₂) على الترتيب.
إذاً ص + Δ ص = (ص ₁ + Δ ص ₁) (ص ₂ + Δ ص ₂)
ص + Δ ص = (ص ₁ ص ₂ + ص ₁ Δ ص ₂ + ص ₂ Δ ص ₁ + Δ ص ₁ Δ ص ₂ ) ………….(2)

المشتقة الأولى لخارج قسمة دالتين:

المشتقة الأولى لدالة الدالة (تفاضل دالة الدالة):

إذا كانت الدالة ص = د (ع) قابلة للاشتقاق بالنسبة إلى ع
والدالة ع = و (س) قابلة للاشتقاق بالنسبة إلى س
فإن الدالة ص = د [ و (س) ] قابلة للاشتقاق بالنسبة إلى س
وعليه يتم اشتقاق (ص) بالنسبة للمتغير (ع) حيث نحصل على (صَ) ثم نشتق (ع) بالنسبة للمتغير (س) ونحصل على (عَ).

كل منهما تمثل قيمة مستقلة تماماً عن الأخرى فالأولى مشتقة ص بالنسبة إلى ع والثانية مشتقة ع بالنسبة إلى س.
وتعتبر القاعدة السابقة من قواعد التفاضل الهامة، ولها استخدامات عملية كثيرة سترد فيما بعد.

المشتقة الأولى للدالة الضمنية (derivative of the implicit function):

سبق أن وضحنا أن الدالة الضمنية بين س، ص هي الدالة التي لا تعطي قيمة ص مباشرة إذا حددنا قيمة س، أي الدالة التي يتعذر فيها وضع ص في طرف وحدود س في الطرف الآخر، لذا رمزنا لمثل هذه الدالة بالرمز د (س، ص) = قيمة ثابتة.

المشتقة الأولى للدالة العكسية (inverse function):

سبق أن أوضحنا أنه إذا ارتبط المتغير المستقل س بالمتغير التابع ص بعلاقة رياضية على الصورة:
ص = د (س)
فإنه إذا أمكن إعادة صياغة العلاقة السابقة بصورة صريحة بحيث نعبر عن س بدلالة ص أي:
س = د (ص)
فإننا نطلق على الدالتان السابقتان بأنهما دالتان عكسيتان (أي أن الدلة الثانية هي الدالة العكسية للأولى، والدالة الأولى هي الدالة العكسية للثانية) وعليه فإنه إذا كانت:
ص = د (س) وأمكن إيجاد ص = د (س) مباشرة فإن:

وغالباً ما نستخدم القاعدة السابقة إذا ماتبين لنا أن التعامل مع س = د (ص) أبسط وأسهل من التعامل مع ص = د (س) وهنا يتم حساب مشتقة الأبسط والأسهل ثم باستخدام قاعدة الدالة العكسية يمكننا حساب مشتقة الآخر.