أنواع المصفوفات

ما هي المصفوفات؟

المصفوفة هي عبارة عن أداة رياضية، يتم استخدامها بهدف تخليص أو عرض مجموعة من الأرقام بطريقة مبسطة في صورة المنظوم، حيث يتكون هذا المنظوم من عدد من الصفوف وعدد من الأعمدة، كما أنه قد يكون مستطيلاً (أي عدد الصفوف به لا يساوي عدد الأعمدة).
إلى جانب ذلك فإنه ومن الممكن أن تكون أعمدة المنظوم مربعة (أي عدد الصفوف به يساوي عدد الأعمدة)، كما أن الأرقام التي تتكون منها صفوف وأعمدة المصفوفة يطلق عليها مكونات أو عناصر المصفوفة، إذ قد تكون هذه الأرقام موجبة أو سالبة، صحيحة أو كسرية، وبناءاً على ذلك فإنه ومن الممكن أن يتم تحديد ذلك المنظوم باستخدام القوس الذي قد يأخذ الشكل [] أو الشكل ().
وعليه فمن الممكن أن يتم التعبير عن تلك المصفوفة باستخدام الرمز (أ) أو بأي رمز آخر،والذي يكون بإحدى الطرق التالية:
أ = [ أ _{ص ع}] أو أ = (أ _{ص ع}) .
حيث تشير (أ) داخل القوس إلى عناصر أو مكونات المصفوفة، بينما الدليل المزدوج أسفل (أ) هو (ص ع)، حيث تشير (ص) إلى عدد الصفوف، في حين أن (ع) تشير إلى عدد الأعمدة حيث أن:
ص = 1، 2، 3 ………..، م
ع = 1، 2، 3،…………..، ق .
إذ أن كل من عدد الصفوف وعدد الأعمدة هي التي تحدد رتبة المصفوفة.

فإذا كان عدد الصفوف م = عدد الأعمدة (ق) فإن المصفوفة تكون مربعة، بينما إذا كان عدد الصفوف (م) ≠ عدد الأعمدة (ق) فإن المصفوفة تكون مستطيلة.
وتختلف المصفوفة في هذا الشأن عن المحدد حيث أن المحدد دائماً يكون مربعاً، كذلك فإن المصفوفة ليس لها قيمة محده كما هو الحال في المحدد.
وتختلف مصفوفة عن الأخرى باختلاف عدد الصفوف وعدد الأعمدة التي تتكون منها وباختلاف قيمة العنصر التي يتكون منها كل صف وكل عمود وعلى هذا الأساس يمكننا التعرف على بعض أنواع المصوفات:

ما هي أنواع المصفوفات؟

المصفوفة المستطيلة:

وهي المصفوفة التي عدد صفوفها لا يساوي عدد أعمدتها وقد يكون م > ق أو م < ق.

المصفوفة المربعة(square matrix):

وهي المصفوفة التي عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها.

المصفوفة الصفرية(null or matrix):

إذا كانت كافة عناصر المصفوفة (سواء كانت مستطيلة أو مربعة) تأخذ القيمة (صفر) فيطلق عليها المصفوفة الصفرية.

المصفوفة القطرية (Diagonal matrix):

وهي مصفوفة مربعة جميع عناصرها تأخذ القيمة (صفر) ما عدا عناصر القطر الرئيسي، وهو القطر الذي يبدأ من الشمال الشرقي إلى الجنوب الغربي للمصفوفة فيأخذ قيماً لا تساوي الصفر وتختلف كلها أو بعضها في القيم الحسابية فمثلاً:

مصفوفة الوحدة (unit matrix)

وهي مصفوفة مربعة أيضاً وجميع عناصر صفوفها وأعمدتها تأخذ القيمة (صفر) ما عدا عناصر القطر الرئيسي فيأخذ القيمة (1) وهذا هو أساس الإختلاف بينها وبين المصفوفة القطرية ويرمز لها بالرمز (I) مثلاً:

مصفوفة المتجهات (vectors matrix):

وهي مصفوفة تتكون من صف واحد وعدة أعمدة وفي هذه الحالة يسمى متجة صف (Row vector) في حين لو تكونت هذه المصفوفة من عمود واحد وعدة صفوف سمى متجه عمود(Celumn vector) فمثلاً:

المصفوفة الشاذة أو المنفردة (Singular matrix):

وهي مصفوفة مربعة نجد أن محدد عناصرها = صفر فمثلاً:

لكن إذا كان محدد المصفوفة ≠ صفر فيطلق عليها مصفوفة غير شاذة أو غير منفردة.

المصفوفة المبدلة (Transpose matrix):

إذا كان لدينا مصفوفة (أ _{(م × ق)}) أي عدد صفوفها (م) وعدد أعمدتها (ق)، وتم استبدال عناصر الصفوف بعناصر الأعمدة بنفس الترتيب أو العكس فإن المصفوفة الجديدة ولتكن (أ′) يطلق على هذه المصفوفة (أ′ _{(م × ق)} بالمصفوفة المبدلة.

المصفوفة المتماثلة (Symmetric matrix):

إذا كان هناك مصفوفة مربعية (أ _{(م × ق)}) وتم إستبدال عناصر صفوفها بعناصر أعمدتها بنفس الترتيب أصبحت مصفوفة مبدلة (أ′ _{(م × ق)}) وإذا لم تتغير قيم العناصر المتناظرة في كل منها عن الأخرى بعد الإجراء السابق فيطلق على مثل هذه المصفوفة بالمصفوفة المتماثلة.
ومن الممكن أن تتم ملاحظة على مثل هذه المصفوفة أيضاً هو أن العناصر المتناظرة فيها أعلى وأسفل القطر الرئيسي تكون متماثلة.

المصفوفة القياسية (Scarler Matrix):

وهي عبارة عن مصفوفة واحدة (I)، مضروب عناصر قطرها الرئيسي × رقم قياسي محدد، وينتج عن ذلك المصفوفة القياسية ونلاحظ أن عناصر القطر الرئيسي متساوية في القيمة.