نبذة عن المعاملات التفاضلية العليا:
للحصول على المشتقة الأولى (أو معامل التفاضلي الأول) للدوال الصريحة في المتغير على الصورة: ص = د (س)، حيث ص دالة وحيدة القيمة ومستمرة في المتغير س (أي قابلة للإشتقاق) ويلاحظ أن مثل هذه المشتقات الأولى، قد تكون هي الأخرى دوالاً في س، ويطلب منا إيجاد المعامل التفاضلي الأول لدوال مثل مشتقات، وبعبارة أخرى تكرار إيجاد المشتقة التفاضلية مرتين للدالة ص بالنسبة إلى س، وهكذا يمكن أن نحصل على المعامل التفاضلي الثاني أو الثالث …….. الخ وهو ما نحتاج إلية في بعض الدراسات الرياضية.
فمثلاً ص = د (س) وتساوي (25 س 4 + 3 س 3 + 8 س 2 + 5س)
فإن المعامل التفاضلي الأول لهذه الدالة والذي رمزنا دَ (س) أو صَ:
= 100 س 3 + 9 س 2 + 16 س + 5 …………..(1)
إن هذه المشتقة أو المعامل التفاضلي الأول في (1) عبارة عن دالة في المتغير س، ومن الممكن تفاضل نفس المشتقة إلى س، وفي هذه الحالة نحصل على ما يسمى بالمعامل التفاضلي الثاني أو المشتقة الثانية (للدالة ص = د (س) يرمز لها دََ (س) أو صََ
= 300 س 2 + 18 س + 16 ………………(2)
وهي تتضمن إجراء عملية التفاضل مرتين متتالتين على الدالة ص بالنسبة إلى س
ومن الملاحظ أيضاً أن المعامل التفاضلي الثاني عبارة عن دالة في س وعلية فإنة في الإمكان تفاضل المشتقة الثانية، وبذلك نحصل على المعامل التفاضلي الثالث (المشتقة الثالثة) ويرمز له بالرمز دَََ (س) أو صَََ
= 600 س + 18 …………..(3)
وهي تتضمن إجراء عملية التفاضل ثلاث مرات متتالية للدالة ص بالنسبة إلى س.
وفي الإمكان إيضاً الحصول على المعامل التفاضلي الرابع (المشتقة الرابعة) للدالة السابقة في (3) وسنرمز لها دََََ (س) أو صََََ.
= 600 ………………..(4)
وهي تتضمن إجراء عملية التفاضل على الدالة ص بالنسبة إلى س أربع مرات متتالية.
في حين أن المشتقة الخامسة (للدالة السابقة في (4)) وسنرمز لها بالرمز:
صَََََ = صفر ………….(5)
وهي تتضمن إجراء عملية التفاضل خمس مرات متتالية على الدالة ص بالنسبة إلى س نستنتج مما سبق أنه إذا كانت ص = د (س) تمثلها معادلة من الرتبة من الرتبة (ن) فإن:
- المعامل التفاضلي الأول (المشتقة الأولى) يمثلها معادلة من الرتبة (ن – 1).
- المعامل التفاضلي الثاني (المشتقة الثانية) يمثلها معادلة من الرتبة (ن – 2).
- المعامل التفاضلي الثالث (المشتقة الثالثة) يمثلها معادلة من الرتبة (ن -1).
وهكذا وعليه نستنتج أنه بالاستمرار في إجراء التفاضل المتتالي نجد أن رتبة المعادلة التي تمثل مشتقة معينة نقل واحد صحيح عن رتبة المعادلة السابقة لها مباشرة.
