ما هو المكثف الأسطواني؟
يستخدم المكثف لتخزين كميات كبيرة من التيار الكهربائي في مساحة صغيرة، يشتمل المكثف الأسطواني على موصل أسطواني مجوف أو صلب محاط بأسطوانة كروية مجوفة متحدة المركز، تستخدم المكثفات على نطاق واسع في المحركات الكهربائية ومطاحن الدقيق والعصارات الكهربائية وغيرها من الأدوات الكهربائية.
يختلف فرق الجهد بين كل مكثف، هناك العديد من الدوائر الكهربائية حيث يتم تجميع المكثفات وفقًا لذلك للحصول على السعة المطلوبة، هناك وضعان شائعان، بما في ذلك المكثفات على التوالي والمكثفات على التوازي، وحدة السعة هي الفاراد (Farad – F)، غالبًا ما يستخدم لتخزين الشحنة الكهربائية، المكثف الأسطواني هو نوع من المكثفات التي لها شكل أسطوانة لها نصف قطر داخلي (a) ونصف قطر خارجي (b).
معادلة المكثف الأسطواني:
معادلة المكثف الأسطواني هي:
C = 2π ε0L/ln (b/a)
حيث:
C – سعة الاسطوانة.
L – طول الاسطوانة.
a – نصف القطر الداخلي للأسطوانة.
b – نصف القطر الخارجي للأسطوانة.
ε0 – سماحية المساحة الحرة (8.85 × 10-12).
المجال الكهربائي في المكثف الأسطواني:
المكثف هو جهاز يستخدم في الدوائر الكهربائية والإلكترونية لتخزين الطاقة الكهربائية كفرق في الجهد الكهربائي، أو “في المجال الكهربائي”، ويتكون من موصلين كهربائيين “تسمّى الألواح”، وعادةً ما تكون عبارة عن لوحات أو أسطوانة أو صفائح مفصولة بطبقة عازلة “فراغ أو مادة عازلة”، المادة العازلة هي مادة لا تسمح للتيار بالتدفق وبالتالي يمكن استخدامها كعازل، تمّ بناء المكثف الأول في (1745-1746) ويتكون من وعاء زجاجي مغطى برقائق معدنية من الداخل والخارج، تُعرف باسم وعاء ليدن “أو جرة ليدن”.
حساب المجال الكهربائي في مكثف أسطواني:
سنقوم الآن بحساب المجال الكهربائي في مكثف أسطواني، المجال الكهربائي الناتج عن كل أسطوانة له اتجاه شعاعي “نصف قطري” (radial direction)، يتم توجيه خطوط المجال بعيدًا عن اللوحة الموجبة، وباتجاه اللوحة السالبة، سنستخدم “قانون غاوس” لحساب حجم المجال الكهربائي بين ألواح المكثف، المجال الكهربائي داخل أسطوانة نصف قطرها (R1) أو خارج المكثف يساوي صفرًا.
يتم عرض المكثف والسطح الغاوسي “أسطوانة نصف قطرها (r)”، التي سنستخدمها لحساب التدفق من الأعلى في المكثف الأسطواني، يتم الحصول على التدفق عبر السطح الغاوسي من خلال:
∮ E dS = q/ε0
التدفق عبر قاعدة الأسطوانة هو صفر، لأنّه لا توجد خطوط مجال تمر عبرها، المتجهات (E) و(dS) متوازيتان للسطح الجانبي للأسطوانة، وبالتالي فإنّ حاصل الضرب النقطي لهما يساوي حاصل ضرب مقاديرهما، علاوةً على ذلك، نظرًا لأنّ المجال له تناظر شعاعي، فإنّ حجمه هو نفسه بالنسبة لجميع النقاط الموجودة على السطح الغاوسي، وبالتالي يمكننا تحريكه خارج التكامل:
∫ E dS = q/ε0 ; E ∫ dS = q/ε0
وبعد استبدال سطح الجانب الجانبي للأسطوانة لنحصل على:
E2π rh = q/ε0 ; E = q/2πε0rh
تُعرَّف السعة (C) للمكثف بأنّها النسبة بين القيمة المطلقة لشحنة الألواح وفرق الجهد الكهربائي بينهما:
C = q /ΔV
وحدة السعة في النظام الدولي للوحدات هي الفاراد (F)، أولاً، سنحسب فرق الجهد الكهربائي بين ألواح المكثف:
ΔV = VB – VA = – ∫Edl
بعد استبدال فرق الجهد الكهربائي، نحصل على:
ΔV = VB – VA = – ∫(q/2πε0rh) urdrur
ΔV = – ∫ (q/2πε0rh) dr
وبعد الدمج نحصل على:
ΔV = (q/2πε0h) ln (R2/R1)
وبالتالي فإنّ سعة المكثف هي:
C = 2πε0h/ln(R2/R1)
أثناء شحن مكثف، يتم نقل شحنة موجبة (dq) من اللوحة السالبة إلى اللوحة الموجبة، ولكن من أجل القيام بذلك، من الضروري توفير قدر معين من الطاقة في شكل شغل (work)، لأنّه إذا لم يكن الأمر كذلك، فسيتم طرد الشحنة الموجبة بواسطة اللوحة السالبة، يُعطى الشغل المبذول لتحريك الشحنة (dq) من اللوح السالب إلى اللوح الموجب من خلال:
dW = dq ΔV = dq Ed = dq (q/ε0S) d
ندمج بين الشحنة الفارغة والشحنة القصوى (q) للحصول على:
W = ∫dq (q/ε0S) d = ½ (q2/ε0S) d = ½ ΔVq
إذا عبرنا عن (q) كدالة لسعة المكثف لدينا:
W = ½ΔVCΔV
W = ½CΔV2
الطاقة المستخدمة لشحن المكثف تبقى مخزنة فيه، لذلك، فإنّ “الطاقة المخزنة في مكثف مشحون” هي:
U = ½CΔV2
