تحليل العدد إلى عوامله الأولية

مقدمة للعوامل الأولية

العوامل الأولية: هي عبارة عن أعداد صحيحة تكون أكبر من الرقم واحد، حيث إنها غير قابلة القسمة إلا على العدد واحد أو على نفسها، ومن الأمثلة عليها 7، 3، 19، 2، فهي لا تمتلك غير عاملين: العدد واحد، ونفسها فقط.

مفهوم التحليل للعوامل الأولية

أما عملية التحليل إلى العوامل الأولية: التوصل إلى الأعداد الأولية التي حاصل نتيجة ضربها يكون مساوي للعدد الأصلي الذي سوف يتم تحليله للوصول إلى عولمله الأولية، ومن أهم شروط ذلك التحليل: غض النظر دائماً عن الرقم واحد وغير عده من فئة العوامل الأولية.
مع ملاحظة أن الأعداد التي تكون حاصل نتيجة ضرب أعداد صحيحة ببعضها البعض تسمى أعداداً مركبة، أما العوامل هي نتيجة حاصل ضرب أعداد صحيحة ببعضها البعض، وتتميز هذه العوامل بأنها إما أن تكون عبارة عن أعداد أولية أو غير أولية، وتفيد عملية التحليل في اخراج العامل المشترك الأصغر والعامل المشترك الأكبر التي تستخدم في طريقة التحليل للعوامل.

طرق التحليل إلى العوامل الأولية

الطريقة التقليدية في تحليل العوامل الأولية

تقوم الطريقة التقليدية بداية بالتقسيم على عدد أولي ومن المهم أن يكون أصغر ما يمكن، أو العثور على أي عدد آخر، ثم نقوم بمواصلة عملية القسمة على تلك الأعداد الأولية حتى تتم عملية الوصول إلى العدد الأولي الأخير المراد الوصول إليه، ومن الأمثلة على ذلك، تحليل العدد 12 إلى عومله الأولية:

• بداية نقوم بقسمته على عدد أولي مثل العدد (2)، إن العدد 12 يعتبر من ضمن الأعداد الزوجية، فنقول بأن 12/2=6، وبذلك يكون العدد 2 من فئة الأعداد الأولية للعدد 12.
  
• يعتبر العدد 6 من فئة الأعداد غير الأولية، فنقوم بقسمته على عدد أولي من نوع آخر مثل العدد 2، وذلك باعتبار أن العدد 6 هو عدد زوجي: 6/2=3، ويعتبر العدد 3 عدد أولي فنقوم بالتوقف، وبذلك يعتبران العددان 2,3 عددان أوليان للعدد 12.
  
• الأعداد الاولية للعدد 12 (2،3)، ويكتبا على صورة: 2*3*2=12.
  

طريقة الشجرة في تحليل العوامل الأولية

تعتبر طريقة الشجرة من الأساليب المهمة التي تقوم باستخدام مخططات لتبسيط الأرقام حتى تتم عملية التوصل إلى عواملها الأولية، بداية نقوم بضرب عددين ببعضهما البعض حاصل نتيجة ضربهما العدد الذي نريد الوصول على عوامله الأولية، مع الاستمراية بتجزئة وتبسيط تلك الأعداد غير الأولية حتى الوصول إلى عواملها الأولية من الأمثلة على ذلك:

ما هي العوامل الأولية للعدد 24 باستخدام طريقة الشجرة:

• إيجاد عددين حاصل نتيجة ضربهما هو العدد 24، وهما (2×12) .
  
• يعتبر العدد 12 من الأعداد غير الأولية، وبالتالي يجب إيجاد عددين حاصل نتيجة ضربهما هو 12، وهما (3×4) مثلاً.
  
• يعتبر العدد 4 من الأعداد غير الأولية، وبالتالي يجب إيجاد عددين حاصل نتيجة ضربهما هو 4، وهما (2×2)، وهما عددان أوليان لذلك يجب التوقف هنا.
  
• إذن تعتبر الأعداد الأولية للعدد 24 هي: 3×2×2×2 = 24.
  

ومن أهم القواعد التي يجب أن تؤخذ بعين الاعتبار في إيجاد الأعداد التي تمكّن الرقم المراد أن يتم تحليله القسمة عليها دون أن يكون هناك باقٍ هي كالآتي:

• في حال كان العدد زوجياً، فهو بالتأكيد يقبل القسمة على (2).
  
• عندما تكون خانة الآحاد للرقم الذي يراد تحليله هي: (5،0)، فهو بالتأكيد يقبل القسمة على (5 .
  
• عندما يكون حاصل جمع خانتي الآحاد والعشرات معاً في الرقم المراد تحليله يمكن أن يقبل القسمة على (3)، فهو بالتأكيد يقبل القسمة على (3).
  
• عندما لا توجد هناك عدم قابلية للرقم المراد تحليله القسمة عليه على (2)، (3)، (5)، فيجب أن يتم البحث أرقام أولية مع مراعاة أن تكون أكبر مثل (7)، (11)، (13)، ويتم الاستمرار بذلك حتى يتم إيجاد عدد يمكن للعدد المطلوب القسمة عليه دون باق.

أمثلة على التحليل إلى العوامل الأولية

قم بإيجاد العوامل الأولية للعد 1386:

• بداية نقوم بإيجاد عددين نتيجة حاصل ضربهما: 1386، وهما (2×684) مثلاً.
  
• يعتبر العدد 1386 من مجموعة الأعداد غير الأولية، فيجب أن نقوم بإيجاد عدين آخرين حاصل ضربهما هو 1386.
  
• العددان (171×4)، يعتبر العدد 4 بالإضافة إلى العدد 171 أعداد غير أولية، وبالتالي يجب إيجاد عددين نتيجة حاصل ضربهما هو 4، وعددين نتيجة حاصل ضربهما هو 171، وهما (2×2)، و(57×3) على الترتيب.
  
• يعتبر العدد 57 من فئة الأعداد غير الأولية، وبالتالي يجب إيجاد عددين نتيجة حاصل ضربهما هو 57، وهما (3*19)، يعتبر العدد 9 والعدد 3 من فئة الأعداد غير الأولية، فنقوم بالوقف.
  
• إذاً فالأعداد الأولية للعدد 1368هي: 2×2×2×3×3×19= 1386.

تحليل العدد ٢٤ إلى عوامله الأولية

إن هذه الأعداد التالية ( 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24) تقبل القسمة على العدد(24) بدون باق، ونسميها عوامل العدد (24). فالعوامل الأولية لأي عدد هي التي تقسمه بدون باقي مثلا (2× 3× 2 ×2) حاضل ضرب هذه الأعداد هو 24 وهكذا.