تذبذب البندول البسيط - Oscillation of a Simple Pendulum

ما هو البندول البسيط – Simple Pendulum؟

البندول البسيط له عقدة ذات قطر صغير وخيط له كتلة صغيرة جدًا ولكنّه قوي بما يكفي لعدم التمدد بشكل ملحوظ، الإزاحة الخطية من التوازن هي طول القوس، تظهر أيضًا القوى المؤثرة على العقدة، والتي ينتج عنها صافي قوة مقدارها (−mg sinθ) تجاه موضع التوازن، أي قوة الاستعادة.

البندول شائع الاستخدام، بعضها له استخدامات مهمة، مثل الساعات؛ وبعضها للمتعة، مثل أرجوحة الطفل؛ وبعضها موجود فقط، مثل الغطاس على خط الصيد، بالنسبة لعمليات الإزاحة الصغيرة، يعتبر البندول مذبذبًا توافقيًا بسيطًا، يُعرَّف البندول البسيط بأنّه يحتوي على جسم له كتلة صغيرة، يُعرف أيضًا باسم البندول (pendulum bob)، والذي يتم تعليقه من سلك أو سلسلة خفيفة، باستكشاف البندول البسيط أكثر قليلاً، يمكننا اكتشاف الظروف التي تؤدي في ظلها حركة توافقية بسيطة، ويمكننا اشتقاق تعبير مثير للاهتمام عن فترته.

معادلة الحركة للبندول – Equation of Motion:

يتكون البندول البسيط من كرة “كتلة نقطية” (m)، معلقة من سلسلة “عديمة الكتلة” بطول (L)، ومثبتة عند نقطة محورية (P)، عند إزاحتها إلى زاوية أولية وتحريرها، سيتأرجح البندول ذهابًا وإيابًا بحركة دورية، من خلال تطبيق “قانون نيوتن الثاني” لأنظمة الدوران، يمكن الحصول على معادلة الحركة للبندول:

τ = Iα  ⇒  −mgsinθL = mL² (d²θ/dt²)

وأعيد ترتيبها كـالتالي:

d²θ/dt²+ g/L sinθ = 0

إذا كانت سعة الإزاحة الزاوية صغيرة بما يكفي، فإنّ تقريب الزاوية الصغيرة (sinθ)، يظل صحيحًا، وبالتالي فإنّ معادلة الحركة تقلل إلى معادلة الحركة التوافقية البسيطة:

d²θ/dt²+g/Lθ = 0

الحل التوافقي البسيط هو:

θ(t) = θ_ocos(ωt)

حيث: (θ_o) هي الإزاحة الزاوية الأولية، و(ω=√g/L) التردد الطبيعي للحركة، فترة هذا النظام “الوقت لتذبذب واحد” هي:

T= 2π/ω = 2π√L/g

هذه النتيجة مهمة جدًا بسبب بساطتها، الأشياء الوحيدة التي تؤثر على فترة البندول البسيط هي طوله وتسارعه بسبب الجاذبية، الفترة مستقلة تمامًا عن العوامل الأخرى، مثل الكتلة، كما هو الحال مع المذبذبات التوافقية البسيطة، تكون الفترة (T) للبندول مستقلة تقريبًا عن السعة، خاصةً إذا كانت أقل من حوالي (15) درجة، حتى ساعات البندول البسيطة يمكن ضبطها بدقة وإتقان.

على ماذا تعتمد فترة البندول؟

لا تعتمد فترة البندول على كتلة الكرة، ولكن فقط على طول الخيط، إذا كان هناك بندولان لهما كتلتان مختلفتان ولكن نفس الطول سيكون لهما نفس الفترة، وإذا كان لهما بندولان بأطوال مختلفة ستختلف الفترات؛ البندول ذو الخيط الأطول سيكون له فترة أطول، على سبيل المثال، كم عدد التذبذبات الكاملة التي يكملها بندول أزرق “قصير”، وبندول بني اللون “أطول من الأزرق”  في الوقت المناسب لتذبذب كامل للبندول الأطول “أسود اللون”؟

انطلاقًا من هذه المعلومات ومن تعريف الفترة الزمنية للبندول البسيط، ما هي نسبة أطوال البندول الثلاثة؟ بافتراض الزوايا الصغيرة، يكون تردد البندول وفترة وجوده مستقلين عن سعة الإزاحة الزاوية الأولية، سيكون للبندول نفس الفترة بغض النظر عن زاويته الأولية، تدور جميع الثلاثة بندولات خلال تذبذب واحد كامل في نفس الوقت، بغض النظر عن الزاوية الأولية.

البندول البسيط الحقيقي غير الخطي:

عندما يكون اتساع الإزاحة الزاوية للبندول كبيرًا بما يكفي بحيث لا يستمر تقريب الزاوية الصغيرة، فيجب أن تظل معادلة الحركة في شكلها غير الخطي:

d²θ/dt²+ g/Lsinθ = 0

لا تحتوي هذه المعادلة التفاضلية على حل مغلق، ولكن بدلاً من ذلك يجب حلها عدديًا باستخدام الكمبيوتر، (Mathematica) يحل هذه المعادلة التفاضلية عدديًا بسهولة شديدة باستخدام الوظيفة المضمنة (NDSolve [])، التقريب الصغير للزاوية صالح لعمليات الإزاحة الزاوية الأولية بحوالي (20) درجة أو أقل، إذا كانت الزاوية الأولية أصغر من هذا المقدار، فإنّ التقريب التوافقي البسيط يكون كافياً، ولكن، إذا كانت الزاوية أكبر، فإنّ الاختلافات بين تقريب الزاوية الصغيرة والحل الدقيق تصبح واضحة بسرعة.

لنفترض وجود بندول أزرق داكن اللون وأزرق فاتح اللون، يتحرك بزاوية بسيطة، الزاوية الأولية صغيرة، البندول الأزرق هو تقريب الزاوية الصغير، والبندول الأزرق الفاتح، هو الحل الدقيق، للحصول على زاوية ابتدائية صغيرة، يتطلب الأمر عددًا كبيرًا من التذبذبات قبل أن يبدأ الاختلاف بين تقريب الزاوية الصغيرة (الأزرق الداكن) والحل الدقيق (الأزرق الفاتح) في التباعد الملحوظ.

ولنفترض وجود بندول أسود اللون وبندول رمادي اللون، يتحرك البندول الأسود بزاوية كبيرة، الزاوية الأولية كبيرة. البندول الأسود هو تقريب الزاوية الصغير، والبندول الرمادي الفاتح هو الحل الدقيق، بالنسبة للزاوية الأولية الكبيرة، يصبح الفرق بين تقريب الزاوية الصغيرة “أسود” والحل الدقيق “رمادي فاتح” واضحًا على الفور تقريبًا.