رمز براكيت في فيزياء الكم

رمز براكيت هو تدوين للجبر الخطي والمشغلين الخطيين على مسافات متجهية معقدة مع فضاءهم المزدوج في كل من الحالة ذات الأبعاد المحدودة واللانهائية، حيث إنه مصمم خصيصًا لتسهيل أنواع الحسابات التي تظهر كثيرًا في ميكانيكا الكم، إذ أن استخدامه في ميكانيكا الكم واسع الانتشار، ويتم شرح العديد من الظواهر التي يتم شرحها باستخدام ميكانيكا الكم باستخدام تدوين براكيت.

ما هو رمز براكيت

يُطلق عليه براكيت لأن المنتج الداخلي والمنتج النقطي لحالتين يُشار إليه بقوس، حيث أن ⟨Φ | Ψ⟩ يتألف من الجزء الأيسر ⟨Φ |، ويسمى برا والجزء الأيمن | Ψ⟩ تسمى الكيت، إذ أن الفرق بين برا وكيت هو، إذا كان قوس الزاوية يشير إلى اليسار مثل ⟨a | فهو برا ناقلات صف، وإذا كان قوس الزاوية يشير إلى اليمين مثل | a⟩ فهو كيت أي ناقلات العمود، إذ يمكن التفكير في الأقواس كأداة ذاكري للتتبع إذا كنت تعمل باستخدام متجه أو مقلوبه المقترن منذ | a⟩ = ⟨a | †.

كيف تستخدم تدوين براكيت(Braket): لاستخدام تدوين القوسين يتم كتابة اسم الكائن متبوعًا بأقواس []، إذ أنه داخل الأقواس يكتب اسم الخاصية كسلسلة، حيث يمكن استخدام ترميز الأقواس على عكس التدوين النقطي مع المتغيرات، فإذا تم استخدام متغيرًا بعلامة قوس فيجب أن يشير المتغير إلى سلسلة.

أهمية ترميز براكيت في فيزياء الكم

يأتي الارتباك من حقيقة التفكير من حيث تدوين فيزياء براكيت دون فهم كيفية بناء الفراغات المتجهية الأساسية، حيث أن (Kets) هي نواقل في فضاء متجه أي مجموعة كائنات يتم فيها تحديد إضافة متجهية وضرب متجه عددي لبعض مجالات الحجميات، فهي ناقلات صف وتعرف أيضًا بالصيغة الواحدة وتُعرف على أنها وظائف خطية من مساحة متجهية إلى مجالها من الحجميات، كما أنها تشكل مساحة متجهة وهي موجودة حتى لو لم يتم تحديد منتجًا داخليًا في مجموعة المجموعات.

نظرًا لأن مساحة ناقلات الصف هي مساحة متجهية، فيمكن شدها بمساحة متجهية أخرى مثل مساحة المجموعات، إذ يتم تعريف هذا تمامًا مثل أي منتج موتر آخر لمسافتين متجهتين، وهو المنتج الديكارتي ومجهز بتعريف بديهي للجمع والضرب، بحيث يمكنك تدوين ذلك بطريقتين مكافئتين هم نفس الشيء من الناحية الهيكلية فقط مع اصطلاح مختلف للترتيب، وبالمثل يمكن ترتيب الإحداثيات ثلاثية الأبعاد أو دون تغيير أي شيء.

في هذا المثال، | ⟩ ⊗ ⟨ ↓ | _⟨ ↓ | ⊗ | ↑ ⟩( س ، ص، ض)( ض، ذ، خ )، غالبًا ما يتم اختصار الحالة الأولى لأنه لا يوجد خطر من الخلط بينها وبين أي شيء آخر، وبالطبع يعد هذا الترميز خطيرًا بعض الشيء لأنه يشير إلى أن هناك طريقة لربط ناقلات صف بكل مجموعة (ket)، لكن هذا سيكون خطأ لأنه لم يتم تحديد منتجًا داخليًا.

وفي هذا المثال، | ↑ ⟩ ⟨ ↓ |⟨x | _| x⟩ _، من ناحية أخرى إذا تم كتابة الحالة الثانية على أنها (أو) فقد يساء تفسيرها مثل ترك ناقلات صف، وهي وهي وظيفة خطية من مساحة (kets) إلى العددية، حيث تعمل على (ket)؛ مما ينتج عنه عددي، وهذا كائن رياضي مختلف تمامًا، فإذا كانت ناقلات الصف والمجموعات تحتوي على بُعد فضاء متجه فإن الكائن له البعد 1 بينما الكائن له أبعاد.

مسافات المتجهات في تدوين براكيت

في الرياضيات يستخدم المصطلح متجه لوصف عنصر أي فضاء متجه، ومع ذلك فإن مصطلح ناقل في الفيزياء أكثر تحديدًا يشير مصطلح متجه بشكل حصري تقريبًا إلى كميات مثل الإزاحة أو السرعة، والتي تحتوي على مكونات تتعلق مباشرة بالأبعاد الثلاثة للفضاء أو نسبيًا بأربعة أبعاد الزمكان، حيث يتم الإشارة إلى هذه النواقل عادةً بالسهام الزائدة بخط عريض أو المؤشرات .

في ميكانيكا الكم، يتم تمثيل الحالة الكمومية عادةً كعنصر من فضاء هيلبرت المعقد، على سبيل المثال فضاء المتجه اللانهائي الأبعاد لجميع الدوال الموجية الممكنة، ووظائف مربعة قابلة للتكامل ترسم كل نقطة من الفضاء ثلاثي الأبعاد إلى رقم معقد، أو أكثر مساحة هيلبرت المجردة مبنية بشكل جبري أكثر.

ونظرًا لاستعمال كلمة المتجه لشيء آخر يميل علماء الفيزياء إلى استخدام التدوين التقليدي بدلا من استخدام تحديد الفضاء الذي يعد عنصرًا ما فيه فمن الشائع والمفيد الإشارة إلى عنصر (phi) لمساحة متجهية معقدة مجردة مثل كيت (phi) باستعمال الأعمدة الرأسية والأقواس الزاويّة والإشارة إليها على أنها “kets” بدلاً من كونها متجهات ونطقها ket أو ket-A لـ | A⟩.

يمكن استخدام الرموز أو الأحرف أو الأرقام أو حتى الكلمات، أيًا كان ما يمكن استخدامه كتسمية مناسبة كملصق داخل مجموعة مع ، حيث توضح أن الملصق يشير إلى متجه في مساحة ناقل، وبعبارة أخرى فإن الرمز A  له معنى رياضي محدد وعالمي، بينما الرمز (A ) في حد ذاته ليس كذلك.

مثال على مسافات المتجهات في تدوين براكيت: | 1⟩ + | 2⟩ لا يساوي بالضرورة | 3⟩، ومع ذلك للراحة عادة ما يكون هناك مخطط منطقي وراء الملصقات داخل المجموعات مثل الممارسة الشائعة المتمثلة في وضع العلامات على مجموعات الطاقة الذاتية في ميكانيكا الكم من خلال قائمة بأرقامها الكمومية. وفي أبسط صوره الملصق الموجود داخل المجموعة هو القيمة الذاتية لمشغل مادي مثل و  و إلخ.

الرموز في تدوين براكيت

نظرًا لأن المجموعات هي مجرد متجهات في فضاء متجه (Hermitian)، فيمكن معالجتها باستخدام القواعد المعتادة للجبر الخطي، على سبيل المثال:

إن السطر الأخير أعلاه يحتوي عددًا لا نهائيًا من المجموعات المختلفة، واحدة لكل رقم حقيقي x، ونظرًا لأن الكيت هو عنصر من عناصر الفضاء المتجه فإن ناقلات الصف هي عنصر من مساحتها المزدوجة، أي أن ناقلات الصف هي تعمل عملا خطيا، وهي خريطة خطية من الفضاء المتجه إلى الأعداد المركبة، وبالتالي من الجيد التفكير في الكيتس وناقلات الصف على أنها عناصر من مساحات متجهية مختلفة.

ناقلات الصف والكيت ، على سبيل المثال عامل ومتجه، حيث يمكن دمجهما مع عامل التشغيل من المرتبة الأولى مع المنتج الخارجي .

تحديد براكيت على مساحة هيلبرت

يعد تدوين براكيت مفيدًا بشكل خاص في فضاءات هلبرت التي تحتوي على منتج داخلي يسمح بالاقتراب الهرمي وتحديد المتجه بوظيفة خطية مستمرة، أي أن كيت مع ناقلات صف والعكس بالعكس، حيث ان المنتج الداخلي في مساحة هلبرت مع الحجة الأولى المضاد الخطي كما يفضلها الفيزيائيون فهي تعادل تمامًا تحديد مضاد للخطية بين مساحة الكيتس ومساحة حمالات الصدر في تدوين براكيت لـ تحديد وظيفية  مثل ناقلات صف بواسطة:

.

يجب استخدام تدوين الأقواس عندما يتم الوصول إلى خاصية كائن باستخدام متغير، أو عندما يكون مفتاح الخاصية عبارة عن رقم أو يتضمن رمزًا أو كلمتين بهما مسافة.