طرق فك المحددات

هناك أكثر من طريقة تستخدم في فك المحددات من أهمها: طريقة كرامر وطريقة ستراس وطريقة المحيدد والمرافق.
سنتناول فيما يلي ماهية كل طريقة.

ما هي طريقة كرامر؟

أوجد قيمة المحدد (أو فك المحدد) التالي:

= (4 × 8) – (3 × 2).
= 32 – 6 = 26.
وقيمة المحدد هنا = 26 وقد تم الوصول إليها وفقاً للقاعدة التالية:
[ قيمة المحدد = (حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي) – (حاصل ضرب عناصر القطر المرفق).
وتطلق على هذه الطريقة في فك المحددات (بطريقة كرامر)، مع ملاحظة أنه يمكن أن نرمز لأي محدد بالرمز (Δ) كما يمكن أن نرمز له بأي رمز آخر مثل (أ أو ب أو حـ ………).

ما هي الطريقة القطرية أو طريقة ستراس؟

ما قيمة المحدد:

= (5 × 4) – (4 × 5).
= 20 -20 = صفر
من المثال السابق يتضح أن قيمة المحدد قد تكون صفرية).
وعمموماً إذا كان لدينا محدد من الرتبة الثانية فإن قيمته عبارة عن:

لكن إذا كان لدينا محدد من الرتبة الثالثة فيمكن تحديد قيمته (فكه) بطريقة أخرى تسمى (الطريقة القطرية) أو الطريقة (ستراس) وتتضح قواعد هذه الطريقة في الخطوات التالية:
ما قيمة المحدد؟

لفك هذا المحدد يجب تتبع الخطوات التالية بالترتيب:

• يُعاد كتابة (عناصر العمود الأول) و(عناصر العمود الثاني) من المحدد الأصلي المراد إيجاد قيمته بنفس قوتيهما وترتيبها على يسار المحدد الأصلي.
  
• يتم ضرب العناصر الثلاثة التي تقع على الأقطار التي تتجه من أعلى اليمين ألى أدنى اليسار (وتعتبر أقطار موجبة) أو الأقطار الرئيسية وهي الأقطار التي تأخذ الأرقام (1)،(2)، (3) ويتم جمع حاصل ضرب عناصر كل منها (أي مجموع حاصل الضرب).
  أي: حاصل ضرب القطر(1) + حاصل ضرب عناصر القطر (2) + حاصل ضرب القطر (3).
  + [ (أ _11  ×أ_{2 2 ×}أ₃₃ ) + ( أ _{1 2 ×}أ_{23 ×}أ₃₁ ) + (أ _{13 ×}أ_{2 1×} أ₃₂)]
  يتم ضرب العناصر الثلاثة التي تقع على القطار التي تتجه من أعلى اليسار إلى أدنى اليمين (وتعتبر أقطار سالبة) أو الأقطار المرفقة وهي الأقطار لتي تأخذ الأرقام (4)، (5)، (6) على الترتيب ويتم جمعها.
  أي حاصل ضرب عناصر القطر (4) + حاصل ضرب القطر (5) + حاصل ضرب القطر (6).
  – [ (أ ₃₁ × أ ₂₂ × أ ₁₃) + ( أ ₁₁ × أ ₃₂ × أ ₂₃) + (أ ₂₁ × أ ₁₂ × أ ₃₃ )].
  
• ناتج (أ) – ناتج (ب) يعطي قيمة المحدد أي:
  Δ = [(أ 11 × أ 22 × أ 33) + (أ 21 × أ 32 × 13) + (أ 31 × أ 12 × أ 23) – (أ 31 × أ 22 × 13) + (أ 11 × أ 32 × أ 23 ) + (أ 21 × أ 12 × أ 33)]
  

ما قيمة المحدد التالي بطريقة ستراس (القطرية)؟

= [ (5 × 8 × 0) + (6 × 0 × 1) + (0 × 2 × 2) – (0 × 8 × 1) + (5 × 0 × 2) + (6 × 2 × 0)]
= [ (صفر + صفر +صفر) – (صفر + صفر +صفر) ] = صفر
إذاً Δ = صفر

ما هي طريقة المحيد والمرافق؟

هناك طريقة ثالثة تستخدم في إيجاد قيمة (أو فك) أي محدد من من أي رتبة خصوصاً بالنسبة لمحددات من الرتبة الرابعة فأكثر وتسمى (طريقة المحيدد والمرافق) وتتلخص في الخطوات التالية:

• لكل محدد من المحددات أي كانت رتبته ولتكن (ق) محيدد (أي محدد أصغر منه بدرجة واحدة) أي من رتبة (ق – 1).
  ويمكن الحصول على محيدد أي محدد أصلي باستخدام عناصر أي صف أو عناصر أي عمود في المحدد الأصلي.
  فإذا ما أخذنا أي عنصر في الصف أو عمود وحذفنا باقي التي تقع في نفس الصف ونفس العمود الذي يقع به هذا العنصر لتنتج لنا محيدد معين وهكذا بالنسبة لباقي العناصر الأخرى في نفس الصف أو نفس العمود والتي تستخدم في الفك حيث يكون لها محيددات معينة.
  ولتوضيح ما تقدم نفترض أن لدينا المحدد الأصلي من الرتبة الثالثة:
  

• باستخدام عناصر العمود الأول في فك المحدد السابق.
  باستخدام العنصر الأول في العمود الأول (أ ₁₁ ) فإننا نحصل على المحيدد الأول من الرتبة الثانية وهو:
  

وتم الحصول عليه بحذف جميع العناصر الأخرى التي تقع في الصف الأول (أ _21  ، أ ₃₁ ) وبحذف جميع العناصر الأخرى التي تقع في العمود الأول أيضاً (أ _{12  ،}أ ₁₃ ).
باستخدام العنصر الثاني في العمود الأول (أ ₁₂) فإننا نحصل على المحيدد الثاني من الرتبة الثانية وهو:

وتم الحصول علية بحذف جميع العناصر الأخرى التي تقع في الصف الثاني (أ 22 ،أ 32)، وبحذف جميع الغناصر الأخرى التي تقع في العمود الأول أيضاً (أ 11 ، أ 13).
باستخدام العنصر الثالث في العمود الأول (أ 13) فإننا نحصل على المحيدد الثالث من الرتبة الثانية وهو:

وتم الحصول عليه بحذف جميع العناصر الأخرى التي تقع في الصف الثالث (أ ₂₂ ، ب ₃₂)، وبحذف جميع العناصر الأخرى التي تقع في العمود الأول (أ ₁₁ ، أ ₁₂).

• إذا ما أعطينا كل محيدد من المحيددات السابقة إشارة قد تكون موجبة أو سالبة طبقاً لقاعدة معينة سمى مرافق، ويتم تحديد هذه الإشارة طبقاً للقاعدة التالية:
  إذا كان مجموع الدليل أسفل العنصر المستخدم في فك المحدد (عدداً فردياً) كانت إشارة هذا لامرفق (سالبة) وإذا كان هذا المجموع (عدداً زوجياً) كانت الإشارة (موجبة) بشرط أن يكون مجموع هذا الدليل قوة أو أس للرقم (-1).
  فإذا أخذنا العنصر (أ _{ص ع}) حيث تشير (ص) إلى ترتيب الصف، ويشير (ع) إلى ترتيب العمود الذي بهما العنصر.
  فإذا أخذنا (-1) ^^{_{ص+ ع}} وكان مجموع (ص + ع) عدداً فردياً كانت إشارة المرفق هنا سالبة.
  لكن إذا أخذنا (-1) ^^{_{ص+ ع}} وكان مجموع (ص + ع) عدداً زوجياً كانت إشارة المرفق هما موجبة.
  
• مجموع المحيددات المرافقة للعناصر المختلفة المستخدم في فك المحدد، حيث أنه كل منها في عنصر الصف أو العمود المستخدم في فك المحدد تعطى قيمة المحدد الأصلي أي أنه إذا كان لدينا محدد أصلي من الرتبة الثالثة:
  

فيمكن فكة وفقاً لطريقة (المحيدد والمرافق) كما يلي:
باستخدام عناصر العمود الأول في فك هذا المحدد نجد:

= أ ₁₁ ( أ ₂₂  – أ ₂₃ × أ ₃₂) – أ ₁₂ (أ ₂₁ × أ ₃₃ – أ ₂₃ × أ ₃₁) + أ ₁₃ ( أ ₂₁ × أ ₃₂ – أ ₂₂ × أ ₃₁) .