طريقة التدرج المترافق هي طريقة تكرارية شائعة لحل أنظمة المعادلات الخطية. إنه فعال بشكل خاص للأنظمة المحددة الإيجابية الكبيرة والمتفرقة والمتماثلة. تعثر الطريقة بشكل متكرر على الحل عن طريق تقليل الخطأ المتبقي في كل خطوة.
طريقة الاقتران في حل النظم الخطية
تبدأ طريقة التدرج المترافق بتخمين أولي للحل ومتجه أولي متبقي. ثم يولد سلسلة من الاتجاهات المترافقة ويستخدم هذه الاتجاهات لتحديث تقريب الحل بشكل متكرر. يتم اختيار الاتجاهات المقترنة بطريقة تكون متعامدة فيما يتعلق بمصفوفة النظام الخطي ، مما يساعد على تسريع التقارب.
في كل تكرار ، تحسب الطريقة حجم الخطوة القياسي الذي يقلل من المتبقي على طول الاتجاه المترافق الحالي. يتم تحديد حجم الخطوة هذا من خلال بحث سطر أو عن طريق حل مشكلة تحسين أحادية البعد. ثم يتم تحديث تقريب المحلول عن طريق اتخاذ خطوة في اتجاه الاتجاه المترافق مع حجم الخطوة المحسوب.
تستمر طريقة التدرج المترافق في التكرار حتى يتم استيفاء معيار تقارب معين ، مثل الوصول إلى مستوى التفاوت المطلوب للخطأ المتبقي أو الحد الأقصى لعدد التكرارات. تقريب الحل النهائي الذي تم الحصول عليه بالطريقة يفي بالنظام الخطي ضمن التسامح المحدد.
تتمثل إحدى المزايا الرئيسية لطريقة التدرج المترافق في قدرتها على حل أنظمة كبيرة من المعادلات بكفاءة دون الحاجة إلى تخزين مصفوفة النظام بالكامل. بدلاً من ذلك ، يحتاج فقط إلى تخزين عدد قليل من المتجهات المتعلقة بالتكرار الحالي. هذه الخاصية تجعلها مناسبة بشكل خاص لحل المشاكل مع عدد كبير من المجاهيل.
بشكل عام ، تعتبر طريقة التدرج المترافق تقنية قوية وفعالة لحل الأنظمة الخطية. تكمن فعاليتها في قدرتها على استغلال خصائص مصفوفة النظام ، مثل التناظر والتباين ، لتسريع التقارب. لقد وجدت تطبيقات في مختلف المجالات ، بما في ذلك الحوسبة العلمية والتحسين والمحاكاة العددية.
