قانون غاوس للمجال الكهربائي - Gauss’s Law for Electric Fields

تعريف قانون غاوس للمجال الكهربائي:

يصف قانون “غاوس” للمجال الكهربائي المجال الكهربائي الساكن الناتج عن توزيع الشحنات الكهربائية. ينص على “أنّ التدفق الكهربائي عبر أي سطح مغلق يتناسب مع إجمالي الشحنة الكهربائية التي يحيط بها هذا السطح”. حسب الإصطلاح، تولد الشحنة الكهربائية الموجبة مجالاً كهربائياً موجباً. نُشر القانون بعد وفاته عام 1867م كجزء من مجموعة أعمال لعالم الرياضيات الألماني الشهير “كارل فريدريش غاوس”.

ينص قانون “غاوس” للمجال الكهربائي على أنّ إجمالي التدفق الكهربائي من سطح مغلق يساوي الشحنة الكهربائية للسطح المغلق مقسوم  على السماحية (سماحية الفراغ). يُعرَّف التدفق الكهربائي في منطقة ما على أنّه المجال الكهربائي مضروباً في مساحة السطح المسقط على مستوى وعمودي على المجال الكهربائي.

معادلة قانون غاوس في شكل متكامل – Integral Equation:

قانون جاوس في شكل متكامل يكون كالتالي:

 , E . ds = (1 / ε₀​)​ Q ∮

حيث:

E – هي المجال الكهربائي.

Q – هي الشحنة الكهربائية.

$\epsilon$$0$$–$ هي السماحية الكهربائية للفراغ.

على سبيل المثال، يتم وضع نقطة شحنة (Q) داخل مكعب من الحافة “a”. الآن وفقاً لقانون (Gauss)، يكون التدفق عبر كل وجه من وجوه المكعب هو  (q / 6$\epsilon$$0$).

المجال الكهربائي هو المفهوم الأساسي الذي يجب معرفته عن الكهرباء. بشكل عام، يتم حساب المجال الكهربائي للسطح من خلال تطبيق قانون كولوم، ولكن لحساب توزيع المجال الكهربائي في سطح مغلق، نحتاج إلى فهم مفهوم قانون غاوس، يشرح الشحنة الكهربائية المغلفة في شحنة كهربائية مغلقة أو موجودة على السطح المغلق.

حساب التدفق الكهربائي:

التدفق هو مقياس لشدة مجال يمر عبر سطح. يتم تعريف التدفق الكهربائي بشكل عام على أنّه:

Φ = ∫ e ⋅  ñ da

يمكننا التفكير في المجال الكهربائي على أنّه كثافة التدفق الكهربائي. ينص قانون غاوس على أنّ التدفق الكهربائي عبر أي سطح مغلق يساوي صفراً، إلّا إذا كان الحجم بهذا السطح يحتوي على شحنة كهربائية صافية.

الصيغة التفاضلية لقانون غاوس – Differential Form:

عند التفكير في جسم مشحون ممتد مكانياً، يمكننا التفكير في شحنته على أنّها موزعة باستمرار في جميع أنحاء الجسم بكثافة (ρ). ثم تُعطى الشحنة الإجمالية من خلال تكامل كثافة الشحنة على حجم الجسم.

Q =∫ρ dv 

باستخدام هذا التعريف وتطبيق نظرية الإختلاف على الجانب الأيسر من قانون جاوس، يمكننا إعادة كتابة القانون على النحو التالي:

e dv =∫ ρ / $\epsilon$$0$dv . ∇∫

نظراً لأنّ هذه المعادلة يجب أن تنطبق على أي حجم (V)، فيمكننا مساواة التكاملات، مع إعطاء الشكل التفاضلي لقانون (Gauss):

e = ρ / $\epsilon$$0$ . ∇

يمكن إثبات أنّ قانون غاوس للمجالات الكهربائية يعادل قانون كولوم.

قانون غاوس للمادة – Gauss’s Law in Matter:

يمكن فهم قانون غاوس للمجالات الكهربائية بسهولة أكبر من خلال إهمال الإزاحة الكهربائية (d). قد لا تكون سماحية العزل الكهربائي مساوية لسماحيّة الفراغ (أي ε ≠ $\epsilon$$0$). وأيضاً يمكن فصل كثافة الشحنات الكهربائية إلى كثافة الشحنة الحرة (ρf)  وكثافة الشحنة  المحدودة (ρb)، بحيث:

ρ = ρf + ρb

تشير كثافة الشحنة الحرة (free-charge density) إلى الشحنات التي تتدفق بحرية في ظل تطبيق مجال كهربائي، أي أنّها تنتج تياراً خالٍ من الإختلاف. وتشير كثافة الشحنة المحدودة (bounded – charge density) إلى الشحنات الكهربائية المنسوبة إلى الإستقطاب الكهربائي (p). من خلال الجمع بين المعادلات. ومع تعريفنا للإستقطاب الكهربائي نجد أنّ:

d –∇ ⋅ p = ρf + ρb . ∇

باستخدام العلاقة (d=εe) وفصل المعادلة السابقة إلى مساهمات محدودة وحرة، نجد ما يلي:

p = ρb . ∇ –

و

d = ρf . ∇

المعادلة التالية هي الصيغة التفاضلية لمعادلة جاوس في المادة. وفي الوقت نفسه، يتم إعطاء الشكل المتكامل لمعادلات جاوس في المادة من خلال:

d dV= ∮ d⋅ñ da = Q_f . ∇∫

حيث (Q_f) هو إجمالي الشحنات الحرة.

نظرية غاوس – The Gauss Theorem:

صافي التدفق عبر سطح مغلق يتناسب طردياً مع صافي الشحنة في الحجم المحاط بالسطح المغلق:

Φ = → E.d → A = qnet / ε0

بكلمات بسيطة، تربط نظرية غاوس “تدفق” خطوط المجال الكهربائي (flux) بالشحنات داخل السطح المغلق. إذا لم تكن هناك شحنات محاطة بسطح، فإنّ صافي التدفق الكهربائي يظل صفراً. هذا يعني أنّ عدد خطوط المجال الكهربائي التي تدخل السطح يساوي خطوط المجال التي تغادر السطح. يعطي بيان نظرية غاوس أيضاً نتيجة طبيعية مهمة:

يرجع التدفق الكهربائي من أي سطح مغلق فقط إلى المصادر (الشحنات الموجبة) والمصارف (الشحنات السالبة) للمجالات الكهربائية المغلقة بالسطح. أي شحنات خارج السطح لا تساهم في التدفق الكهربائي. أيضاً، يمكن أن تعمل الشحنات الكهربائية فقط كمصادر أو أحواض للمجالات الكهربائية. تغيير المجالات المغناطيسية، على سبيل المثال، لا يمكن أن يعمل كمصادر أو أحواض للمجالات الكهربائية.

ملاحظة:“قانون غاوس” ليس سوى إعادة صياغة “لقانون كولوم”. إذا قمت بتطبيق نظرية غاوس على شحنة نقطية محاطة بجسم كروي (sphere)، فسوف تستعيد قانون كولوم بسهولة.

مثال على نظرية غاوس:

سؤال: هناك ثلاث شحنات (q1 وq2 وq3) تحتوي على شحنة (6C) و(5C) و(3C) محاطة بسطح. أوجد التدفق الكلي المحيط بالسطح.

الإجابة: إجمالي الشحنة (Q):

Q = q1 + q2 + q3

=  6C + 5C + 3C

=  14C

The total flux, ϕ = Q/ϵ₀

(ϕ = 14C / (8.854×10⁻¹² F/m

ϕ = 1.584 Nm²/C

لذلك، فإن التدفق الكلي المحيط بالسطح هو (1.584 Nm²/C).