قسمة المصفوفات

ما هي المصفوفات؟

المصفوفة هي عبارة عن أداة رياضية، يتم استخدامها بهدف تخليص أو عرض مجموعة من الأرقام بطريقة مبسطة في صورة المنظوم، حيث يتكون هذا المنظوم من عدد من الصفوف وعدد من الأعمدة، كما أنه قد يكون مستطيلاً (أي عدد الصفوف به لا يساوي عدد الأعمدة).

يختلف جبر المصفوفات عن جبر الأرقام الحسابية في عملية القسمة، وهذا يعني أنه إذا كان لدينا مصفوفتان أ، ب فإن خارج قسمة المصفوفتان أ ÷ ب لا يمكن الحصول عليها بهذه الطريقة المباشرة، ولكن يمكن الحصول عليه بطريقة غير مباشرة عن طريق مقلوب المصفوفة.

مقلوب المصفوفة (matrix lnverse):

إذا كان معلوم لدينا مصفوفتان مربعتين من رتبة واحدة وكان حاصل ضربهما هو مصفوفة الوحدة (I)، فتعتبر كلتا المصفوفتين مقلوب للأخرى، وسنرمز لمقلوب المصفوفة بالرمز(أ ^-1).
أي أن:
أ × أ ^-1 = I
أ ^-1 × أ = I
ويطلق على المصفوفة (أ ^-1) بأنها مقلوب المصفوفة (أ)، ومقلوب المصفوفة يكون من نفس رتبة المصفوفة الأصلية.
وحتى يكون هناك مقلوب لمصفوفةٍ ما لا بد أن تكون هذه المصفوفة مربعة أولاً، كما أن محدد هذه المصفوفة المربعة يجب ألا يساوي صفر.
فإذا توافر الشرطين السابقين في مصفوفة ما فيمكن إيجاد مقلوبهما، لكن لو اختلف شرط منها أو كلاهما فإن المصفوفة تكون شاذة، ويصبح مقلوبها غير محدد.
طرق إيجاد مقلوب المصفوفة:
هناك أكثر من طريقة لإيجاد مقلوب المصفوفة، وسنقتصر في هذا المقال على طريقة المصفوفة الرافقة فقط:

خطوات حساب مقلوب المصفوفة بطريقة المصفوفة المرافقة:

• حساب قيمة المحدد العام للمصفوفة (أ) وهو القيمة المطلقة للـ (أ) أو Δ ويشترط هنا ألا يكون قيمة هذا المحدد = صفر حتى يكون للمصفوفة (أ) مقلوب كما سبق أن أشرنا.
  
• حساب المرفقات لكل عنصر من عناصر المحدد العام في الخطوة السابقة.
  
• نوجد مصفوفة المرفقات، فتكون هي المصفوفة المرافقة.
  
• نوجد مصفوفة البدلة أو المحورة للمصفوفة المرافقة في الخطوة السابقة.
  
• نقسم كل عنصر من عناصر المصفوفة المبدلة (أو محورة) على المحدد العام (Δ) فنحصل على مقلوب المصفوفة (أ ^-1).
  
• وللتـأكد من صحة النتائج السابقة يتم ضرب أ × (أ ^-1) أو العكس فإذا كان الناتج مصفوفة الوحدة (I) فإن تحقق ذلك، يعتبر دليلاً على الصحة النتائج السابقة.
  

مثال ما مقلوب المصفوفة أ _(2×2)؟

حساب المرفقات لكل عنصر من عناصر المحدد العام (Δ):
أ ₁₁ = (-1) ¹⁺¹ × 5 = 5


أ ₁₂ = (-1) ¹⁺² × 1 = -1


أ ₂₁ = (-1) ¹⁺² × 4 = -4


_أ22 = (-1) ²⁺² ×3 = 3