قوانين لاغرانج وهاملتون

ماهي معادلات لاغرانج وهاملتون؟

تم تخصيص أساليب أنيقة وقوية لحل المشكلات الديناميكية ذات القيود، ومن أشهرها معادلات لاغرانج، إذ يتم تعريف( Lagrangian ) (L) على أنها ( L = T – V )، حيث T هي الطاقة الحركية وV الطاقة الكامنة للنظام المعني.

حيث بشكل عام تعتمد الطاقة الكامنة لنظام ما على إحداثيات جميع جسيماتها؛ إذ يمكن كتابة هذا كـ V = V (x1)، كما تعتمد الطاقة الحركية عمومًا على السرعات باستخدام الترميز (vx = dx / dt) = ẋ)، وبالتالي فإن المشكلة الديناميكية لها ستة متغيرات ديناميكية لكل جسيم، أي (x ، y ، z و ẋ، ẏ، ż)، ويعتمد لاغرانج على جميع متغيرات 6N إذا كان هناك جسيمات N.

ومع ذلك وفي العديد من المشاكل تسمح قيود المشكلة بكتابة المعادلات المتعلقة ببعض هذه المتغيرات على الأقل، وفي هذه الحالات يمكن تقليل المتغيرات الديناميكية المرتبطة بـ 6N إلى عدد أصغر من الإحداثيات المستقلة المعممة، كما هو الحال بالنسبة للجسم الصلب، إذ تم تقليل إحداثيات 3N إلى ستة إحداثيات معممة مستقلة (لكل منها سرعة مرتبطة)، و يمكن التعبير عن لاغرانج إذن كدالة لكل (qi و q̇i)، ومن الممكن بدءً من قوانين نيوتن فقط اشتقاق معادلات لاغرانج.

حيث يعني الترميز (L / ∂q_i∂) اشتقاق L فيما يتعلق بـ qi فقط مع الاحتفاظ بثبات جميع المتغيرات الأخرى، وهناك معادلة واحدة من النموذج لكل من الإحداثيات المعممة qi (على سبيل المثال ست معادلات لجسم صلب) وحلولها تنتج الديناميكيات الكاملة للنظام، إذ يسمح استخدام الإحداثيات المعممة باختزال العديد من المعادلات المزدوجة من النموذج إلى عدد أقل من المعادلات المستقلة.

معادلات هاملتون:

هناك طريقة أكثر قوة تسمى معادلات هاملتون، حيث يبدأ بتحديد زخم معمم p_i، والذي يرتبط بـ (Lagrangian) والسرعة المعممة q̇_i بواسطة ( p_i = L / q̇_i)، ويتم بعد ذلك تحديد وظيفة جديدة هاميلتوني، بواسطة( H = Σi q̇_i p_i – L).

هذه تسمى معادلات هاملتون، إذ يوجد اثنان منهم لكل إحداثي معمم يمكن استخدامها بدلاً من معادلات لاغرانج مع ميزة أن المشتقات الأولى فقط وليس المشتقات الثانية متضمنة، حيث تعتبر طريقة هاملتون ذات أهمية خاصة بسبب فائدتها في صياغة ميكانيكا الكم ومع ذلك، فهو مهم أيضًا في الميكانيكا الكلاسيكية.

إذا كانت القيود في المشكلة لا تعتمد صراحةً على الوقت، فقد يظهر أن (H = T + V)، حيث T هي الطاقة الحركية وV هي الطاقة الكامنة للنظام، أي أن هاميلتوني يساوي الإجمالي طاقة النظام، علاوة على ذلك إذا كانت المشكلة متناحرة (H لا تعتمد على الاتجاه في الفضاء) ومتجانسة (H لا تتغير مع ترجمة موحدة في الفضاء) فإن معادلات هاملتون تنتج على الفور قوانين الحفاظ على الزخم الزاوي والزخم الخطي على التوالي.

علم الميكانيكا:

خاضت المعركة من أجل الكوبرنيكية في عالم الميكانيكا وعلم الفلك، حيث كان النظام البطلمي الأرسطي قائمًا أو سقط كمتراصة متراصة واستند إلى فكرة ثبات الأرض في مركز الكون، إذ دمرت إزالة الأرض من المركز عقيدة الحركة الطبيعية والمكان وكانت الحركة الدائرية للأرض غير متوافقة مع الفيزياء الأرسطية.

كانت مساهمات جاليليو في علم الميكانيكا مرتبطة بشكل مباشر بدفاعه عن الكوبرنيكية، وعلى الرغم من التزامه في شبابه بالفيزياء التقليدية الدافعة، إلا أن رغبته في الرياضيات على طريقة أرخميدس دفعته إلى التخلي عن النهج التقليدي وتطوير الأسس لفيزياء جديدة قابلة للحساب بشكل كبير ومرتبطة بشكل مباشر بالمشكلات التي تواجه الجديد.

علم الكونيات مهتمًا بإيجاد التسارع الطبيعي للأجسام الساقطة، إذ كان قادرًا على اشتقاق قانون السقوط الحر (المسافة s، تختلف حسب مربع الوقت t²)، وبدمج هذه النتيجة مع شكله البدائي لمبدأ القصور الذاتي كان قادرًا على اشتقاق المسار المكافئ لحركة المقذوفات.

علاوة على ذلك مكنه مبدأ القصور الذاتي من مواجهة الاعتراضات المادية التقليدية على حركة الأرض؛ نظرًا لأن الجسم المتحرك يميل إلى البقاء في حالة حركة، فإن المقذوفات والأشياء الأخرى الموجودة على سطح الأرض ستميل إلى مشاركة حركات الأرض، والتي ستكون بالتالي غير محسوس لشخص يقف على الأرض.