ما المقصود بأنظمة الأعداد؟

يوجد العديد من أنظمة الأعداد المختلفة المستخدمة في تحديد قيم لأعداد باستخدام ما يعرف بنظام المواقع: (أي مواقع الأرقام التي يتكون منها العدد)، وفي هذا المقال سنقوم بمناقشة نظام المواقع، وبعض أنظمة الأعداد الأكثر شيوعاً التي تتبع نظام المواقع.

مفهوم نظام المواقع:

نظام المواقع: هو عبارة عن أنظمة الأعداد المألوفة، التي تبين مواقع الأرقام التي من خلالها تتكون الأعداد.
مواقع الأرقام في أي عدد: هي التي تحدد قيمة الرقم كما أنها هي التي تحدد قيمة العدد، كل رقم له قيم مختلفة بالاستناد على موقع ذلك العدد، عندما يكون الرقم في أقصى يسار العدد فهو الأكبر قيمة، بينما الرقم الذي سيكون في أقصى اليمين هو الأقل قيمة.

نظام الأعداد العشري:

النظام العشري: من أهم نظم الأعداد التي يتم استخدامها في حياتنا اليومية، أساس هذا النظام العدد (10) ويتكون من عشرة أرقام: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 و 9)، في أي عدد من الأعداد كل رقم سوف تختلف قيمته حسب موقعه في العدد، سوف نقوم بتوضيح ذلك بدراسة مواقع أرقام العدد العشري 5,2,8,1,4,9 كما يلي:

نلاحظ في هذا المخطط قيمة الرقم (5) هي: (500) لأنه في فئة وخانة المئات، والرقم (2) هي: (20) لأنه في فئة العشرات، وهكذا بالتالي الموقع هو الذي حدد القيمة التي مثلها الرقم، فإذا تحركنا خطوة ناحية اليسار نضرب الرقم فـي (10) أما إذا تحركنا خظوة ناحية اليمين، نقسم علـى (10)، وهكذا كل خطوة تُغيرقيمة الرقم بالعامل 10.

بالنسبة لللعدد 42، ما معناه في الواقع؟ حسب نظام الأعداد المعروف بنظام الأعداد العشري، فهو يعني أربع عشرات (40) وإثنان (واحد زائد واحد أي وحدتين)، ويمكن أيضا كتابته على النحو التالي:

42=40+2=4.10¹+2.10⁰

نظام الأعداد الثنائي:

وهذه طريقة أخرى لتوضيح قيم لأرقام في مواقعها المختلفة، هناك أنظمة أعداد أخرى تُبنى من عدد من الأرقام غير النظام العشري، مثال على ذلك النظام الثنائي: ويُسمى هذا النظام بنظام الأعداد الثنائي، لأنه يحتوي على رقمين فقط وهما (الصفر والواحد)، عادة ما يُستخدم النظام الثنائي في الإلكترونيات الرقمية، كالحواسب الآلية (أجهزة الكمبيوتر)، نظام الأعداد الثنائي أيضا تحكمه مواقع الأرقام.

في عالم الأعداد العشرية تزيد أو تنقص قيمة الرقم بالعامل 10 حسب موقعه في العدد، أما في عالم الأعداد الثنائية تزيد أو تنقص القيمة بالعامل 2، مثلاً: إذا كان لدينا العدد 10011 فهو مبني من رقمين (الصفر والواحد وهما متضمنان في النظامين العشري والثنائي)، فإذا كان هذا العدد مكتوب وفقا لنظام الأعداد العشري فهذا يعني أن:

10011=1⋅10⁴+0⋅10³+0⋅10²+1⋅10¹+1⁰
ويمكن أيضا كتابته كما يلي:
10011=10000+0+0+10+1=10000+10+1=10000+11
وهذا يعطينا العدد 10011 نفسه كعدد نظام عشري.

أما إذا كان هذا العدد 10011 مكتوب وفقا لنظام الأعداد الثنائي فهذا يعني أن:

10011=1⋅102⁴+0⋅102³+0⋅102²+1⋅10¹+1⋅102⁰ =16+0+0+2+1=19

بمعني أن عدد النظام الثنائي 10011 يعادل 19 بالنظام العشري، فهو بذلك أصبح يتكون من الرقمين (1 و 9) والــ 9 هي: من أرقام النظام العشري وليس من أرقام النظام الثنائي.

ملاحظات مهمة على أنظمة الأعداد:

• نعلم أنه أي عدد يمكن كتابته في صورة مجموعة من الحدود حسب قيمته، كل حد من هذه الحدود عبارة عن حاصل ضرب (الرقم) × (أساس مرفوع لقوة)، وهذا الأساس هو عبارة عن عدد أرقام النظام، في حالة النظام العشري الأساس هو 10 لأنه يتكون من عشرة أرقام (0, 1, 2, …, 9).
  
• وفي حالة النظام الثنائي الأساس هو 2 لأنه يتكون من رقمين (0 و 1)، أما القوة فهي عبارة عن عدد أصفار الرقم وهي تعتمد على موقع الرقم (للآحاد القوة صفر، للعشرات القوة واحد، للمئات القوة 2 وهكذا)، لتحويل أي عدد من النظام الثنائي إلى النظام العشري نكتب العدد كمجموع قوي العدد 2 ثم نجمع قيم هذه الحدود كما في المثال أعلاه، حيث توصلنا الى أن 10011 بالنظام الثنائي يساوي 19 بالنظام العشري.
  
• للتمييز بين أنظمة الأعداد المختلفة عادة ما يكتب اسم النظام (عدداً) في أسفل العدد على الجانب الأيمن، على سبيل المثال: إذا كان العدد بنظام الأعداد العشري يُكتب كما يلي: 10011₁₀، أما إذا كان العدد بنظام الأعداد الثنائي يكتب كما يلي: 10011₂.
  

أنظمة أعداد ذات أساسات مختلفة:

هناك نظم أعداد أخرى مختلفة تبنى من عدد آخر من الأرقام غير نظام الأعداد الثنائي وأنظمة الأعداد العشرية، كل نظام ذو أعداد له أساس، هذا الأساس هو الذي سيحدد عدد الأرقام التي يمكن أن تستخدم في نظام الأعداد، إذا أخذنا نظام الأعداد ذي الأساس 5، بالتالي سنستخدم خمسة أرقام فقط (0, 1, 2, 3 و 4)، تماماً كما في نظام الأعداد العشري (الذي أساسه 10) ونظام الأعداد الثنائي (الذي أساسه 2)، وموقع الرقم في العدد هو الذي يحدد قيمته، وكل هذه الأنظمة ذات الأساسات المختلفة تحكمها مواقع الأرقام.