فهم الدالة الخطية: الأساسيات والتطبيقات في الرياضيات

تُعد الدالة الخطية أحد أنواع الدوال الشائعة، والتي يمكن استخدامها لوصف العديد من المواقف المختلفة، إذا كانت جميع نقاط الدالة تكون بشكل خط مستقيم عند رسمها على نظام الإحداثيات عندئذ تُسمى الدالة دالة خطية، أما إذا لم تحقق هذا الشرط تكون غير خطية، وهي دالة صورتها العامة (y=ax+b)، حيث تعتبر كل من a,b أعداد حقيقية والرسم البياني لها هو الخط المستقيم، يمكن أن يكون مائل أو يوازي محور x، إذا كان المستقيم موازياً لمحورy فإنه لا يمثل دالة، وتتميز بأنها من الممكن أن تكون موجبة أو سالبة.

الدالة الخطية البسيطة

الدالة الخطية البسيطة هي علاقة رياضية تمثل خطًا مستقيمًا في نظام الإحداثيات، وتُعبر عنها بالصورة العامة \(y = mx + b\)، حيث يمثل \(m\) ميل الخط، و\(b\) هو نقطة التقاطع مع محور \(y\). تُظهر هذه الدالة كيفية تغير القيمة \(y\) بالنسبة للقيمة \(x\)؛ فعندما تزداد \(x\) بمقدار ثابت، تتغير \(y\) بنفس النسبة المحددة بواسطة الميل \(m\). الدوال الخطية البسيطة تُستخدم في العديد من التطبيقات العملية، مثل الاقتصاد والعلوم، حيث يمكن استخدامها لنمذجة سلوكيات معينة، مثل العلاقة بين الطلب والسعر. فهم الدالة الخطية يُساعد الطلاب في تطوير مهارات التحليل والتفكير الرياضي.

فيما يلي مثال على الدالة الخطية البسيطة:

y(x)= x+5

تعتمد قيمة الدالة (قيمة y) على قيمة x التي سندخلها كما في المثال التالي:

على سبيل المثال : x=2 فستكون: y=2+5=7، وإذا كانت x=5 فستكون :y=5+5=10.

إذا أدخلنا قيّم مختلفة لـ x يمكننا أن نلاحظ العلاقة بصورة واضحة في القيم التالية :

(x=(0،1،2،3،4

معادلة الخط المستقيم

فيما يلي الصورة العامة للدالة الخطية:

y=kx+m

حيث أن x و y متغيرات، k و m ثوابت تحكم العلاقة بين المتغيرات، تُسمى الصيغة أعلاه بالمعادلة العامة للخط المستقيم: أي دالة تأخذ هذه الصورة يمكن رسمها في هيئة خط مستقيم.

مثال: إذا كان k=1 فسنحصل على الحد (1⋅x)، مما يعطي x بالتالي:

y(x)=1⋅x+5=x+5
الثوابت k و m:

إذا كانت x و y هي عبارة عن متغيرات، فإن قيمة y (قيمة الدالة) تتغير وفقًا لقيمة المتغير x فما معنى الثوابتk و m؟

• يُسمى k بالميل ويمثل ميل الخط المستقيم، عندما تكون قيمة k موجبة فبالتالي يكون الخط مائل قطرياً للأعلى يمين نظام الإحداثيات، ممّا يعني أن قيمة الدالة ستكون أكبر كلما زادت قيمة المتغير المستقل x.

• عندما تكون قيمة k سالبة سيكون الخط مائل قطرياً للأسفل يمين نظام الإحداثيات، وفي هذه الحالة ستكون قيمة الدالة أصغر كلما زادت قيمة المتغير المستقل x، فإذا كان k=0 سيكون الخط أفقي متوازياً مع محور x (لاحظ عندما يكون k=0 فإن قيمة الدالة لا تعتمد على قيمة المتغير المستقل، ستكون قيمة الدالة في هذه الحالة قيمة ثابتة بغض النظر عن قيمة المتغير المستقل).

• تُسمى m بالحد الثابت كما تٌسمى أيضاً بالجزء المقطوع من محور y وهي التي تحدد أين يتقاطع الخط مع محور y، وقيمة m هي قيمة y للنقطة الإحداثية التي يكون عندها x=0 أي عندها يتقاطع الخط مع المحورy.

• إذا كانت قيمة m موجبة سيقطع الخط محور y أعلى نقطة الأصل وإذا كانت قيمة m سالبة سيكون التقاطع أسفل نقطة الأصل. أما إذا كان m=0 عادة ما نتجاهل قيمة m وفي هذه الحالة سيمر الخط بنقطة الأصل (أي النقطة (0,0)، في المثال أعلاه نلاحظ أن k=1 كما نلاحظ أيضا أن قيمة m هي 5، بالتالي إذا رسمنا خط هذه الدالة على نظام الإحداثيات سينتج خط مستقيم يتقاطع مع محور y عند النقطة (0,5)، أي النقطة التي يكون فيها x=0 و y=5.

حساب ميل الخط المستقيم

يُرمز لميل الخط المستقيم بالحرف k كما ذكرنا أعلاه، كما يُسمى أيضا بمعامل الانحدار، فيما يلي سنتعلم كيف يمكننا حساب الميل؟

أولاً: إذا علمنا نقطتين على الخط المستقيم، (x1,y1) و (x2,y2) يمكننا إيجاد الميل باستخدام الصيغة التالية:

k=y التغيّر في/x التغيّر في=Δy/Δx=y2−y1/x2−x1

ثانياً: نقوم بحساب قيمة k لمعادلة المثال السابق، لنأخذ النقطتين (0,5) و (3,8) من المثال أعلاه، دعونا نفترض أن النقطة الأولى هي النقطة 1 والنقطة الثانية هي النقطة 3:

(x1,y1)=(0,5)=

(x2,y2)=(3,8)=

الخلاصة: بتعويض هذه النقاط في الصيغة أعلاه يمكننا الحصول على:

k=y2−y1/x2−x1=8−3/5−0=5/5=1
وهذا صحيح لأن المعادلة كانت y(x)=x+5

صيغة الميل-k للمعادلة الخطية

إذا كان لدينا نقطتين من النقاط التي يمر بها الخط المستقيم يمكننا إيجاد معادلته في صورة y=kx+m، أولاً علينا إيجاد قيمة k، الخطوة التالية إيجاد قيمة m (الجزء المقطوع من y) والخطوة الأخيرة تعويض قيمة كل من k و m  في صيغة الميل للمعادلة الخطية، لنوضح ذلك بالمثال التالي:

أولاً: نواصل مع نفس المثال السابق، أي بإستخدام النقطتين (0,5)، (3,8)، ثم حساب قيمة k أعلاه وكانت 1، بالتالي الخطوة التالية حساب قيمة m، يتم ذلك بتعويض قيمة k في معادلة الخط ثم نحلها لإيجاد m:

y=kx+m=1⋅x+m=x+my

m=y−x

ثانياً: بما أنه لدينا نقطتين معلومتين من النقاط التي يمر بها الخط يمكننا إختيار أي منهما وتعويضها في هذه المعادلة، لنختار النقطة (3,8): m=8−3=5، الآن لدينا (k =1) و (m =5)، ويمكن تعويضهما في معادلة الخط المستقيم كما يلي: y=kx+m=1⋅x+5=x+5

إذن معادلة الخط هي: (y = x + 5)،وهي المعادلة الخطية في صيغة الميل-k.

صيغة المعادلة الخطية بدلالة نقطة معلومة:

إذا علمنا كل من قيمة k ونقطة من النقاط التي يمر بها الخط المستقيم، يمكننا إيجاد معادلة هذا الخط المستقيم ويتم ذلك باستخدام صيغة النقطة المعلومة:

صيغة معادلة الخط المستقيم بدلالة النقطة المعلومة هي: (y−y1)=k(x−x1)