نظرية الأعداد الجبرية: هي فرع من فروع نظرية الأعداد التي تستخدم الجبر المجرد لدراسة الأعداد الصحيحة والأعداد المنطقية.
خصائص نظرية الأعداد الجبرية
يتم التعبير عن الأسئلة النظرية العددية من حيث الخصائص الجبرية مثل حقول الأرقام الجبرية وحلقات الأعداد الصحيحة والحقول المحدودة والحقول الوظيفية، يمكن لهذه الخصائص، مثل ما إذا كانت الحلقة تسمح بعوامل فريدة وسلوك المثل العليا ومجموعات حقول جالوا (وهي حقول منتهية، أي لها عدد منتهي من العناصر)، أن تحل مسائل ذات أهمية أساسية في نظرية الأعداد، مثل وجود حلول لمعادلات ديوفانتي، وتبحث أيضاً نظرية الأعداد الجبرية بدراسة الأشكال التربيعية ومعادلة بيل بوسائل أولية بحتة.
الحقل: يعرف في الرياضيات أنه مجموعة العمليات الحسابية الأساسية الأربعة؛ وهي الجمع والطرح والضرب والقسمة، وتطبيق هذه العمليات على الأعداد الحقيقية والنسبية، بحيث يعتبر الحقل بنية أساسية في علم الجبر ويستخدم مفهوم الحقل في الجبر ونظرية الأعداد وغيره من فروع الرياضيات.
يمكن تتبع بدايات نظرية الأعداد الجبرية إلى معادلات ديوفانتين، وقد سميت هذه المعادلات على اسم عالم الرياضيات في القرن الثالث ديوفانتوس، الذي درسها وأوجد طرقًا لحل بعض أنواع هذه المعادلات، بحيث تتمثل معادلات ( Diophantine ) النموذجية في إيجاد عددين صحيحين ( x ) و ( y ) بحيث يكون مجموعهما ومجموع مربعاتهما مساويًا لرقمين معطيين ( A ) و ( B ) على التوالي.
المواضيع التي تهتم بها النظرية الجبرية
تشمل النظرية الجبرية للأعداد موضوعات عدة:
- العوامل الفريدة للمثل العليا.
- حقول الأرقام.
- تقسيم الأعداد الأولية.
- مجموعة الفصل.
- طرق الشبكة، ومحدودية رقم الفئة.
- نظرية وحدات ديريتشليت.
- الحقول المحلية.
- التشعب والمميزات.
يتمثل الاختلاف الرئيسي في نظرية الأعداد الجبرية ونظرية الأعداد التحليلية، أن نظرية الأعداد التحليلية تختص بالأسئلة ذات الإجابات التي يتم تقديمها بواسطة الصيغ الدقيقة على سبيل المثال، دراسة الأعداد الصحيحة والأعداد الأولية، بينما في نظرية الأعداد التحليلية تختص بالأسئلة ذات تقديرات تقريبية جيدة للكميات التي لا نتوقع إيجاد صيغة لها.
